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MensagemEnviado: 25 nov 2016, 11:16 
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Determine a área da região limitada pelas retas \(y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\), \(y=2x-\frac{1}{3}\) e \(y=-\frac{2}{3}x+5\).

Calculei o pto de interseção entre as retas:
O ponto de interseção entra as retas \(y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\) e \(y=2x-\frac{1}{3}\) é (-1,-1)
O ponto de interseção entra as retas \(y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\) e \(y=-\frac{2}{3}x+5\) é (5,\(\frac{5}{3}\))
O ponto de interseção entra as retas \(y=2x-\frac{1}{3}\) e \(y=-\frac{2}{3}x+5\) é (2,\(\frac{11}{3}\))

E agora não sei como continuar, podem ajudar-me? Obrigado


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MensagemEnviado: 25 nov 2016, 14:49 
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Pode calcular a medida dos lados do triângulo e aplicar uma fórmula para o cálculo da área ou pode dividir a região em triângulo retângulos, ou ainda utilizar integrais:

\(Area = \int_{-1}^2((2x-\frac 13)-(\frac 23 x - \frac 53) )dx + \int_2^{5}((-\frac 23 x + 5)-(\frac 23 x - \frac 53))dx = \cancel{8}=12\) [editado]


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MensagemEnviado: 26 nov 2016, 13:21 
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Eu ainda não dei integrais nem derivadas.


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MensagemEnviado: 29 nov 2016, 10:23 
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1. Determine a altura, h, do triangulo calculando a distância entre o ponto \((2,\frac{11}{3})\) e a recta \(\frac 23 x -\frac 53\)

2. Determine a medida da base calculando \(b = ||(-1,-1)-(5,\frac 53)||\).

3.Calcule a área do triangulo usando a fórmula \(A=\frac{b h}{2}\)


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MensagemEnviado: 01 dez 2016, 12:06 
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Eu não sei como continuar, exatamente porque não consigo achar a altura do triângulo. Já tentei o Teorema de Pitágoras a Lei dos senos e dos cossenos, mas fattam-me sempre dados.
Podem ajudar-me a achar a altura? Obrigado


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MensagemEnviado: 01 dez 2016, 18:29 
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Olá!

Um detalhe: a interseção entre as retas (2/3)x-5/3 e 2x-1/3 deveria ser (-1, -7/3), creio eu...

Uma forma que conheço para resolver o problema é calcular a área a partir da determinante dos três vértices. Veja esse link: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-um-triangulo.htm


Sobre como encontrar a altura do triângulo, perceba que essa medida é na realidade a distância entre um ponto do triângulo e a reta que passa pelos dois pontos restantes, então é possível usar a seguinte fórmula: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm


Se quiser que eu elabore um pouco mais é só pedir, só passei para deixar a ideia mesmo.


Até mais!


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MensagemEnviado: 04 set 2017, 16:35 
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Trata-se de calcular a área do triângulo formado pelas três retas: (r) \(y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\), (s) \(y=2x-\frac{1}{3},\ (t)y=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\)
CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICES A, B e C do triângulo.
Vértice A [intersecão de (r) com (s)]
\((r)=(s)=>\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=2x-\frac{1}{3}\ =>\ x=-1\\x=-1\rightarrow\ (r)\ =>\ y=-\frac{7}{3}\ =>\ A(-1-\frac{7}{3})\)
Vértice B [interseção de (s) com (t)]
\((s)=(t)=>\ 2x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}x+5\ =>x=\frac{16}{8}=2\\x=2\rightarrow\ (s)\ =>\ y=4-\frac{1}{3}\ =\frac{11}{3}\ =>\ B(2,\frac{11}{3})\)
Vértice C [interseção de (r) com (t)]
\((r)=(t)\ =>\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=\ -\frac{2}{3}x+5\ =>\ 4x=20\ =>\ x=5\\x=5\rightarrow\ (r)\ =>\ y=\frac{10}{3}-\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\ =>\ C(5,\frac{5}{3})\)

CÁLCULO DA ÁREA
\(Dados\ A(x_1, y_1),\ B(x_2,y_2),\ C(x_3,y_3)\ vertices\ de\ um\ triangulo,\ a\ area\ pode\ ser\ calculada\ assim:\\A=\frac{1}{2}[D],\ sendo\ D=\left[\begin{array}{ccc}x_1\ y_1\ 1\\x_2\ y_2\ 1\\x_3\ y_3\ 1 \end{array} \right]\\Em\ nosso\ caso,\ temos:\\D=\left[\begin{array}{ccc}-1&-\frac{7}{3}&1\\5&\frac{5}{3}&1\\2&\frac{11}{3}&1 \end{array} \right]\ =2+30-8\ =\ 24\\Resposta:\ A=\frac{1}{2}[D]=\frac{24}{2}\ =\ 12\ u.a.\)

OUTRA MANEIRA DE CALCULAR A ÁREA
Equação geral de uma reta: ax + by + c = 0
Equação geral da reta (r): 2x - 3y - 5 = 0
Distância de um ponto a uma reta:\(d_p_r = \left[\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right]\)
Calculemos a distância h entre o vértice B e a reta (r) que será a altura do triângulo, relativa ao lado AC
\(Temos:\ a=2,\ b=-3,\ c=-5,z x_0=2,\ y_0=\frac{11}{3}\\d_B_r=h=\left[\frac{2.2-3.\frac{11}{3}-5}{\sqrt{4+9}}\right]=\left[\frac{-12}{\sqrt{13}}\right ]=\frac{12}{\sqrt{13}}\\Distancia\ de\ A\ ate\ C\\ d_A_C=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\ =\sqrt{(5+1)^2+(\frac{7}{3})^2}=\sqrt{36+16}=2.\sqrt{13}\\\)

Cálculo da área - A
\(A=\frac{1}{2}.d_A_C.h = \frac{1}{2}.2.\sqrt{13}.\frac{12}{\sqrt{13}}\ =>\ A=12\ u.a.\\\)

Espero ter ajudado


Ressuscitado pela última vez por danko71 em 04 set 2017, 16:35.


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