Trata-se de calcular a área do triângulo formado pelas três retas: (r) \(y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\), (s) \(y=2x-\frac{1}{3},\ (t)y=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\)
CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICES A, B e C do triângulo.
Vértice A [intersecão de (r) com (s)]
\((r)=(s)=>\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=2x-\frac{1}{3}\ =>\ x=-1\\x=-1\rightarrow\ (r)\ =>\ y=-\frac{7}{3}\ =>\ A(-1-\frac{7}{3})\)
Vértice B [interseção de (s) com (t)]
\((s)=(t)=>\ 2x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}x+5\ =>x=\frac{16}{8}=2\\x=2\rightarrow\ (s)\ =>\ y=4-\frac{1}{3}\ =\frac{11}{3}\ =>\ B(2,\frac{11}{3})\)
Vértice C [interseção de (r) com (t)]
\((r)=(t)\ =>\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=\ -\frac{2}{3}x+5\ =>\ 4x=20\ =>\ x=5\\x=5\rightarrow\ (r)\ =>\ y=\frac{10}{3}-\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\ =>\ C(5,\frac{5}{3})\)
CÁLCULO DA ÁREA
\(Dados\ A(x_1, y_1),\ B(x_2,y_2),\ C(x_3,y_3)\ vertices\ de\ um\ triangulo,\ a\ area\ pode\ ser\ calculada\ assim:\\A=\frac{1}{2}[D],\ sendo\ D=\left[\begin{array}{ccc}x_1\ y_1\ 1\\x_2\ y_2\ 1\\x_3\ y_3\ 1 \end{array} \right]\\Em\ nosso\ caso,\ temos:\\D=\left[\begin{array}{ccc}-1&-\frac{7}{3}&1\\5&\frac{5}{3}&1\\2&\frac{11}{3}&1 \end{array} \right]\ =2+30-8\ =\ 24\\Resposta:\ A=\frac{1}{2}[D]=\frac{24}{2}\ =\ 12\ u.a.\)
OUTRA MANEIRA DE CALCULAR A ÁREA
Equação geral de uma reta: ax + by + c = 0
Equação geral da reta (r): 2x - 3y - 5 = 0
Distância de um ponto a uma reta:\(d_p_r = \left[\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right]\)
Calculemos a distância h entre o vértice B e a reta (r) que será a altura do triângulo, relativa ao lado AC
\(Temos:\ a=2,\ b=-3,\ c=-5,z x_0=2,\ y_0=\frac{11}{3}\\d_B_r=h=\left[\frac{2.2-3.\frac{11}{3}-5}{\sqrt{4+9}}\right]=\left[\frac{-12}{\sqrt{13}}\right ]=\frac{12}{\sqrt{13}}\\Distancia\ de\ A\ ate\ C\\ d_A_C=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\ =\sqrt{(5+1)^2+(\frac{7}{3})^2}=\sqrt{36+16}=2.\sqrt{13}\\\)
Cálculo da área - A
\(A=\frac{1}{2}.d_A_C.h = \frac{1}{2}.2.\sqrt{13}.\frac{12}{\sqrt{13}}\ =>\ A=12\ u.a.\\\)
Espero ter ajudado
Ressuscitado pela última vez por danko71 em 04 set 2017, 16:35.