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MensagemEnviado: 23 dez 2016, 19:05 
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Determine quantos números positivos x satisfaz a equação COS(97X) = X.


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MensagemEnviado: 16 jan 2017, 23:12 
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No domínio [\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)]\(+ k\pi\), com k a pertencer a R, os valores de cos(97) são todos positivos.

Anexo:
Mat_7.png
Mat_7.png [ 21.49 KiB | Visualizado 2904 vezes ]


Mas como surge a equação cos(97X) = X, não vejo como isso seria possível.

Veja estes exemplos :

para X = 0 temos \(cos(97*0) = cos (0) = 1\) , mas 1 diferente de 0

para X = 0,5 temos \(cos(97*0,5) = -0,19\)... , negativo

para X = \(\frac{\pi}{4}\), temos \(cos(97*\frac{\pi}{4}) = 0.70\)... \(=\frac{\sqrt{2}}{2}\), mas \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) é diferente de \(\frac{\pi}{4}\)

Portanto a equação não se satisfaz a ela própria, diria até impossível ( caso não haja um contra exemplo ).

Até.


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MensagemEnviado: 17 jan 2017, 11:36 
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Existem bastantes soluções! No gráfico abaixo cada solução corresponde a um ponto x onde os dois gráficos se intersectam.

Como o coseno está sempre entre -1 e 1 a equação só pode ter soluções no intervalo [-1,1]. Como além disso procuramos soluções positivas, devemos ter \(x \in [0,1]\). Existem 31 soluções positivas da equação.

MãoMorta: Não pode experimentar meia dúzia de valores e achar que a equação não é satisfeita!


Anexos:
p1.png
p1.png [ 299.44 KiB | Visualizado 2899 vezes ]
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MensagemEnviado: 17 jan 2017, 15:14 
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E "um" exemplo que satisfaz a equação?

Pode dar esse exemplo para refutar a impossibilidade ?

Pareceu-me um problema do tipo : Encontre números inteiros positivos que satisfaçam a equação : x=2x

(... e a pessoa leva horas, dias, semanas, meses a tentar...até que um dia diz : é impossível, então passa a dormir bem, ficar feliz e gozar avida )

Percebi que a equcão cos(97x) tem positivos e a equação x também, mas que ambas se intercetem no mesmo ponto em que o x é igual para ambas é que me pareceu impossível.

Fico, então, à espera do seu exemplo.

Obrigado!


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MensagemEnviado: 17 jan 2017, 16:59 
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Não consegue visualisar o gráfico que coloquei no post anterior? Os exemplos são as abcissas de todos os pontos de intersecção entre a curva verde e vermelha. As soluções da equação \(\cos (97 x) = x\) correspondem às abcissas de intersecção dos gráficos de \(f(x)=x\) e \(g(x)=\cos 97 x\).

Pode experimentar por exemplo \(x \approx 0.20835524997616928\)


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MensagemEnviado: 17 jan 2017, 22:40 
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Vou experimentar...

\(x \approx 0.20835524997616928\)

\(f(x) = x\) temos \(f(0.20835524997616928) = 0.20835524997616928\)

\(g(x) = cos(97*x)\) temos \(g(0.20835524997616928) = cos(97*0.20835524997616928) = 0.208355249976174\)

Diferença \(g(0.20835524997616928) - f(0.20835524997616928) = 0,000000000000005\)

Bastante aceitável!! Mas este exemplo só torna a condição de igualdade mais verdadeira quando se utiliza o valores de x acima da segunda casa décimal. Abaixo da segunda casa decimal a igualdade falha, pois a diferença entre as duas funções já é muito maior do que a do exemplo.

\(f(x) = x\) temos \(f(0.20) = 0.20\)

\(g(x) = cos(97*x)\) temos \(g(0.20) = cos(97*0.20) = 0.852...\)

Um bom exemplo, o que eu calculei, por aproximação de ensaio e erro, foi:

\(f(x) = x\) temos \(f(0.7043897432) = 0.7043897432\)

\(g(x) = cos(97*x)\) temos \(g(0.7043897432) = cos(97*0.7043897432) = 0.7043897446\)

Diferença \(g(0.7043897432) - f(0.7043897432) = 0,000000001\)

É um pior exemplo, pois só a partir da quinta casa decimal é que existe alguma semelhança numérica entre as duas funções.

Consegui visualizar o gráfico do post anterior. Percebi que a intercessão é muitíssimo delicada e com bastantes casas decimais. Não é um valor assim tão linear, isto é, perto do inteiro, calculável facilmente. Perdi-me completamente, na forma de obter um valor certo, ainda agora, não o consigo obter sem recorrer ao tecnológico. A dificuldade de resolução da intercessão das duas funções para obter o número certo não é facilmente quando é feita "à mão".

O exemplo que me forneceu também não foi tirado "à mão", pois não? ( assim com tantas casas decimais e tão rapidamente mostrado )

Até.
Obrigado!


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MensagemEnviado: 17 jan 2017, 23:09 
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A equação está definida no conjunto dos números reais e nem todos os número reais têm uma representação decimal finita... Portanto não é uma questão de ver a partir de que casa decimal a igualdade é verificada, se a solução não tiver uma representação decimal finita sempre haverá uma diferença a partir de certa altura.

A existência de soluções da equação pode ser vista de modo completamente analítico. Procure por "Teorema do valor intermédio" ou "Teorema de Bolzano". Uma função contínua (como é o nosso caso) não pode passar de um valor para o outro sem passar por todos os valores intermédios, em particular não pode mudar de sinal sem passar pelo zero... Se considerar a função \(h(x) = x - \cos (97x)\), sempre que escolher dois números \(x_1, x_2\) tais que \(h(x_1) \times h(x_2) < 0\), tem a certeza que função h tem pelo menos um zero no intervalo \([x_1,x_2]\). Claro que não sabe qual o valor da solução, mas sabe que ela existe! Para determinar aproximações da solução (que sabemos existir) existem muitos métodos numéricos, tais como "Método da Bissecão", "Método do ponto fixo", "Método de Newton" e muitos outros. A solução que obtive foi conseguida com o "Método de Newton".


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MensagemEnviado: 18 jan 2017, 02:14 
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Qualquer cálculo feito por um computador pode ser efetuado à mão. A diferença é que "à mão" é apenas... menos eficiente. Mas maior parte dos algoritmos de cálculo foram encontrados, produzidos, trabalhados muito antes de Turing. Tal como Sabolev referiu. Todas as calculadoras gráficas, algumas cientificas e software aplicam o método de Newton para aproximar as raizes de uma função pois é um dos métodos mais eficientes já que tem um grau de convergência elevado ao contrário de outros métodos. Um número é uma abstração e, para grande parte dos reais não podem ser representados pois não temos forma de representar. Pelo menos como um todo.


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MensagemEnviado: 18 jan 2017, 16:09 
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O valor de 31 soluções foi encontrado por leitura do gráfico ou por método matemático ?

Obrigado!

Poderiamos ter chegado à mesma conclusão de aproximação utilizando a equação do coseno da serie de Taylor ? Este era o meu passo a seguir antes de começar a responder a esta questão.

E tem razão meia dúzia de tentativas não impossibilitam a equação, melhoram o estado de saúde do interveniente, mas , no papel, ela continua a atormentar-nos e a querer ser resolvida...

Obrigado!


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MensagemEnviado: 18 jan 2017, 16:41 
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Já percebi a série de Taylor do coseno é só uma maneira de calcular o coseno com maior exatidão.

Obrigado!

Agradeço o vosso esforço na explicação do fenómeno cos(97x) = x. Obrigadíssimo!


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