Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prova pelo método de indução matemática, que a proposição seguinte é verdadeira
\(\forall n\in \mathbb{N},\frac{1}{1x2}+\frac{1}{2x3}+\frac{1}{3x4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)

Fiz o que está em anexo, mas não consigo transformar \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) em \(\frac{1}{n(n+1)}\) para poder usar a hipótese de indução.

Podem ajudar-me. Obrigado

Para quando \(n=n+1\) temos:

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}\)

A hipótese de indução já está lá, não é necessário "criá-la". Só uma forma diferente de representar.