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MensagemEnviado: 09 jan 2017, 15:52 
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Dados números reais a e r≠1, considere a progressão geométrica Un de primeiro termo a e de razão r. Prove por induçao que para todo o \(p\in \mathbb{N}, \sum_{n=1}^{p}Un = a\)\(\frac{1-r^{p}}{1-r}\).

Podem ajudar-me? Obrigado


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MensagemEnviado: 09 jan 2017, 16:15 
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1. A propriedade é verificada quando p=1, já que se reduz a
\(\sum_{n=1}^1 U_n = a \frac{1-r^1}{1-r} \Leftrightarrow U_1 = a\)


2. Se a propriedade é válida para certo p, também é válida para p+1.

\(\sum_{n=1}^{p+1}U_n = \sum_{n=1}^p U_n + U_{p+1} \stackrel{hip}{=} a \dfrac{1-r^p}{1-r} + a r^{p+1} = a \dfrac{1-r^p + (1-r)r^{p+1}}{1-r}= a \dfrac{1-r^p+r^p -r^{p+1}}{1-r} = a \dfrac{1-r^{p+1}}{1-r}\)


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