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| Progressão geométrica. Prova por indução https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=12206 |
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| Autor: | Carmen [ 09 jan 2017, 15:52 ] |
| Título da Pergunta: | Progressão geométrica. Prova por indução |
Dados números reais a e r≠1, considere a progressão geométrica Un de primeiro termo a e de razão r. Prove por induçao que para todo o \(p\in \mathbb{N}, \sum_{n=1}^{p}Un = a\)\(\frac{1-r^{p}}{1-r}\). Podem ajudar-me? Obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 09 jan 2017, 16:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão geométrica. Prova por indução [resolvida] |
1. A propriedade é verificada quando p=1, já que se reduz a \(\sum_{n=1}^1 U_n = a \frac{1-r^1}{1-r} \Leftrightarrow U_1 = a\) 2. Se a propriedade é válida para certo p, também é válida para p+1. \(\sum_{n=1}^{p+1}U_n = \sum_{n=1}^p U_n + U_{p+1} \stackrel{hip}{=} a \dfrac{1-r^p}{1-r} + a r^{p+1} = a \dfrac{1-r^p + (1-r)r^{p+1}}{1-r}= a \dfrac{1-r^p+r^p -r^{p+1}}{1-r} = a \dfrac{1-r^{p+1}}{1-r}\) |
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