Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia, peço ajuda com a resolução desta questão:

Um triângulo é tal que seus lados medem 2cm, 6cm e 2√10. Nessa condição, é verdadeiro afirmar que qualquer outro triângulo a ele semelhante terá uma de suas alturas expressa por:

a) \(p\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
b) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}\), sendo p a razão de semelhança.
c) \(p\cdot \frac{2\sqrt{5}}{6}\), sendo p a razão de semelhança.
d) \(p\cdot \frac{3\sqrt{10}}{5}\), sendo p a razão de semelhança.
e) \(p\cdot \frac{3\sqrt{5}}{8}\), sendo p a razão de semelhança.

É uma questão de concurso. A alternativa correta é a letra D, só não sei como obter o resultado.

Desde já, agradeço.

Comece por ver que o triângulo é retângulo com hipotenusa \(2\sqrt{10}\). Portanto as suas alturas são 2, 6 e a altura perpendicular à hipotenusa (vamos chamar de a). Esta última pode ser calculada sabendo a área (que é 6) e a hipotenusa (que é \(2\sqrt{10}\)): altura = 2área/hipotenusa (exercício). Qualquer triângulo semelhante terá como alturas 2p, 6p e pa onde p é a razão de semelhança.

Interessante!!

Mas tenho uma outra perspetiva de abordagem, permitam-me...

Tal como o Rui Carpentier mencionou e muito bem, pode-se verificar se o triangulo é retângulo. Mas que interesse temos em se efetuar isso? Bem, nenhum, apenas simplifica as formulas que utilizamos.

Se repararmos nos dados que nos dão, ficamos logo a saber que este triangulo também tem uma razão de semelhança = 2, pois \(2*1\) , \(2*3\) , \(2*\sqrt{10}\), seguindo esta linha de ideia, temos \(p*2\) , \(p*6\) , \(p*2*\sqrt{10}\)

Podemos então supor que a medida maior é a hipotenusa, neste caso \(2\sqrt{10}\) , então,

\(2^2 + 6^2 = (2\sqrt{10})^2\) , resolvendo...temos \(40 = 40\) , o que mostra que é retângulo. Confirmado!

A outra maneira que temos de verificar esta condição ( angulo retângulo ) e que nos vai ser útil para a resolução do exercício, é :

Introduzo a imagem para auxilio do seguinte procedimento


- pegar nas formulas da lei dos co-senos, ou seja, em \(c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos( E )\) , dito isto, resolvemos :

- \(cos( E ) = \frac{c^2-(a^2-b^2)}{-2*a*b}\) , ou seja \(cos( E ) = \frac{40 -40}{-2*a*b}\)\(= 0\)

- significando isto que \(sen^2( E ) + 0^2 = 1\) , ou \(sen^2( E ) = 1\) , ou \(sen( E ) = +-1\)

- Tanto o \(cos( E ) = 0\), como o \(sen( E ) = 1\) comprovam o triangulo retângulo no angulo "E", pois, equivale a 90º

Finalmente vamos aos procedimentos que nos permite escolher a resposta correta :

- trabalhamos com a área do triangulo, esta área pode ser tirada de duas maneiras \(A_1\) ou \(A_2\), ambas têm que ser iguais, pelo que \(A_1 = A_2\)

- \(A_1 = \frac{h * c}{2}\)

- \(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)

Resolvendo... \(A_1 = A_2\) , temos

- \(\frac{h * c}{2} = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)

Ou seja :

- \(h = \frac{a * b}{c} * sen( E )\)=\(\frac{a * b}{c} * 1\) = \(\frac{a * b}{c}\)

Agora é só substituir pelos dados fornecidos, ou seja, a = \(p*2\) , b = \(p*6\) , c = \(p*2*\sqrt{10}\) e temos :

- \(h = \frac{2 *p * 6 * p}{2 * p * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p^2 * 2 * 6}{p * 2 * \sqrt{10}}\) = \(\frac{p * 6}{\sqrt{10}}\) =\(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{\sqrt{10 } * \sqrt{10}\) = \(\frac{p * 6 * \sqrt{10}}{10}\) = \(\frac{p * 3 * \sqrt{10}}{5}\)

Sendo esta a maneira de mostrar como se chegou à escolha da solução.

Até.

Ficou esquecido mencionar que :

\(A_2 = \frac{a * b * sen( E ) }{2}\)

é a equação da área de um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).

Até.

Caramba, mais simples do que eu imaginava

Nem passou pela minha cabeça testar pra saber se o triângulo era retângulo, parti logo pra fórmula de Heron X_X

Obrigado a todos que responderam, valeu!

De nada!

Mas neste caso, não é obrigatório saber se é ou não retângulo.

Falou-se nisso mas como vistes resulta para um triangulo qualquer ( retângulo ou não ).

Até.