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Escolha um sistema de coordenads conveniente.

a) calcule o cosseno do angulo formado por duas diagonais.
b) calcule a distancia entres os pontos médios de duas arestas reversas.
c) escolha uma diagonal de uma face e uma diagonal do cubo que não sejam concorrentes. Mostre que elas são ortogonais

Alguem pode me ajudar??


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MensagemEnviado: 01 jul 2017, 00:57 
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Boa noite!

Colocando a origem do sistema de coordenadas em um dos vértices, podemos obter os outros vértices pelas coordenadas:
Os quatro primeiros vértices no plano Oxy e os 4 últimos em um plano 2 acima.
A(0,0,0)
B(2,0,0)
C(0,2,0)
D(2,2,0)
E(0,0,2)
F(2,0,2)
G(0,2,2)
H(2,2,2)

a) Montando os vetores de duas diagonais:
AH é uma.
\(\vec{AH}=(2,2,2)\)
DE é outra.
\(\vec{DE}=(-2,-2,2)\)

\(\vec{AH}\cdot\vec{DE}=\left\|\vec{AH}\right\|\left\|\vec{DE}\right\|\cos\left(\theta\right)\\
\cos\left(\theta\right)=\frac{\vec{AH}\cdot\vec{DE}}{\left\|\vec{AH}\right\|\left\|\vec{DE}\right\|}\\
\cos\left(\theta\right)=\frac{(2,2,2)\cdot(-2,-2,2)}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}}\\
\cos\left(\theta\right)=\frac{-4-4+4}{\sqrt{12}\sqrt{12}}\\
\cos\left(\theta\right)=\frac{-4}{12}\\
\cos\left(\theta\right)=\frac{-1}{3}\)

b) Duas arestas reversas:
Podem ser:
AB e EG
Ponto médio de AB: M(1,0,0)
Ponto médio de EG: N(0,1,2)
\(\vec{MN}=(1,-1,-2)\\\left\|\vec{MN}\right\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{6}\)

c)
Pode ser:
AH e BC
\(\vec{AH}=(2,2,2)\)
\(\vec{BC}=(-2,2,0)\)

Para provar que são ortogonais o produto interno deve ser nulo:
\(\vec{AH}\cdot\vec{BC}{=}(2,2,2)\cdot(-2,2,0){=}-4+4+0{=}0\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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