Quadrado e retângulo - Perímetro, ângulos e lados

[Alberto Carlos]

Seja ABCD um quadrado e seja L um numero real positivo que nao excede a medida
dos lados do quadrado ABCD. Sobre os lados AB e CD, marcam-se os ponto X e
Y , respectivamente, tais que AX = CY = L. Analogamente, sobre os lados BC e DA,
marcam-se os ponto Z e W, respectivamente, tais que BZ = DW = L. Prove que XZY W
eh um retangulo cujo perımetro independe do valor de L; isto eh, se escolhermos dois valores
distintos para L, obteremos dois retangulos que possuem exatamente o mesmo perımetro.
Lembre-se de que um quadrado eh um paralelogramo no qual todos os lados possuem a
mesma medida e todos os angulos sao retos, um retangulo eh um paralelogramo no qual
todos os angulos sao retos e o perımetro do retangulo eh a soma das medidas de seus quatro
lados.

[Sobolev]

Apenas tem que calcular o perímetro... Se pensar, sem perda de generalidade, que o quadrado tem lado 1, o perímetro é dado por \(2 \sqrt{L^2+L^2} + 2\sqrt{(1-L)^2+(1-L)^2} = 2 \sqrt{2} (L+1-L) = 2 \sqrt{2}\), que realmente não depende da escolha de L.