Equação trigonométrica com a soma dos quadrados dos arcos metades

[petras]

Determine todos os valores de x, 0 ≤ x ≤ 2∏ , para os quais se verifica a igualdade
(sen x/2 + cos x/2 )²=1.

[Baltuilhe]

Bom dia!

Desenvolvendo:
\(\left[\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]^2=1
\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=1\)

Agrupando:
\(\overbrace{\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}^{\text{tem valor igual a 1}}+2\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=1
1+\overbrace{2\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}^{\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)}=1
\sin{x}=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou } x=\pi\text{ ou } x=2\pi\)

Espero ter ajudado!

[petras]

Grato Baltuilhe

[Estanislau]

A equação
sen x = 0
tem um número infinito das soluções e não apenas três: x = kπ, onde k é um número inteiro qualquer.

[pedrodaniel10]

A equação
sen x = 0
tem um número infinito das soluções e não apenas três: x = kπ, onde k é um número inteiro qualquer.

O problema pede apenas as soluções entre 0 e 2∏.

[Estanislau]

Sim, na verdade. Perdão.