Derivada do versos de uma curva não-nula

[MikeAlexBillsZ]

Eu entendo o que é uma curva, entendo que para calcular o versor de um vetor, você deve dividir o vetor pelo módulo/norma do vetor, entendo que uma curva diferenciável é aquela em que se pode derivar em todos os seus pontos (todos ou só alguns?) e sei que para verificar se dois vetores são ortogonais, basta conferir que o produto escalar entre os dois é igual a zero. Porém, gostaria de saber quais propriedades sobre vetores, ou versores, ou curva parametrizada, ou qualquer outra propriedade, não estou enxergando ou não sei para conferir essa igualdade.

Enfim, quais propriedades em geral, fora as que eu citei já saber, preciso saber para resolver essa questão em anexo?

Anexos

[Estanislau]

Primeiro, é preciso saber que a fórmula de Leibnitz também vale em caso do produto de uma função vetorial por uma função escalar:
\(\frac{d}{dt}(f(t) \vec v(t)) = \frac{df}{dt} \vec v + f \frac{d\vec v}{dt}\)

Depois, é preciso saber calcular a derivada da norma. Por exemplo, seja \(\vec v(t)\) uma função vetorial e \(\vec e_1\), ..., \(\vec e_n\) uma base ortonormal e ponhamos
\(\vec v(t) = v_1(t) \vec e_1 + \dots +v_n(t) \vec e_n\)
Então
\(||\vec v|| = \sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}\)
e logo se vê que
\(\frac{d}{dt} ||\vec v|| = \frac{v_1 v_1'}{\sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}} + \dots + \frac{v_n v_n'}{\sqrt{v_n^2 + \dots +v_n^2}} = \frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\)

(Aliás, usando a derivada de Frechet é possível provar estes dois factos de uma maneira ainda mais simples e sem usar coordenadas.)

Já pode tentar a obter a fórmula. Depois é so utilizar esta formula para calcular o produto escalar e verificar que evanesce.

A propósito, trata-se de um facto conhecido que se deriva de uma maneira muito simples. Assumindo que \(|| \vec v(t) || = \mathrm{const}\), temos
\(0 = \frac{d}{dt} ||\vec v(t)||^2 = \frac12 (\vec v(t), \vec v'(t))\)
quer dizer \(\vec v \perp \vec v'\) caso o norma de v seja constante. Aqui utilizei outra fórmula conhecida
\(\frac{d}{dt} ||\vec v(t)||^2 = \frac12 (\vec v(t), \vec v'(t))\)
(que é análoga à da derivada do quadrado) que se segue da fórmula de Leibnitz para o produto escalar.

[MikeAlexBillsZ]

Para entender completamente a explicação, me surgiram algumas dúvidas de conceitos mais básicos que podem ficar confusos caso eu não confirme antes de pensar nos conceitos mais rebuscados.

Todo campo escalar, que leva de \(R^n \rightarrow R^'\) (ou apenas R), também é uma função escalar, certo? Toda função escalar leva de um vetor (\(R^n\)) para um escalar, certo? (mesmo que o vetor seja \(R^'\), que é uma representação de vetores com apenas uma componente.)

Não se pode dizer que função escalar é apenas uma função que leva de escalar para escalar (\(R \rightarrow R\)), certo?

Todo campo vetorial, que leva de vetor em vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), é também uma função vetorial, certo? Toda função vetorial leva de um vetor para outro vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), certo?

[Estanislau]

Para entender completamente a explicação, me surgiram algumas dúvidas de conceitos mais básicos que podem ficar confusos caso eu não confirme antes de pensar nos conceitos mais rebuscados.

Todo campo escalar, que leva de \(R^n \rightarrow R^'\) (ou apenas R), também é uma função escalar, certo? Toda função escalar leva de um vetor (\(R^n\)) para um escalar, certo? (mesmo que o vetor seja \(R^'\), que é uma representação de vetores com apenas uma componente.)

Não se pode dizer que função escalar é apenas uma função que leva de escalar para escalar (\(R \rightarrow R\)), certo?

Tem toda a razão.

Todo campo vetorial, que leva de vetor em vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), é também uma função vetorial, certo? Toda função vetorial leva de um vetor para outro vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), certo?

Já aqui há uma certa simplificação... Às vezes os termos são utilizados neste sentido.

Mais rigorosamente, em geometria diferencial um vetor é a velocidade de uma curva num ponto particular. A cada ponto de uma «variedade» corresponde um espaço vetorial dos velocidades nesto ponto. Por exemplo, consideremos a curva φ(t) = (t, t) no plano. Em t = 0, a posição é (0, 0), e derivando, obtemos a velocidade (1, 1); então o vetor tangente pode ser escrito como V0 = (0, 0; 1 1), incluindo e posição, e a velocidade. Já em t = 1 o vetor tangente é diferente: V1 = (1, 1; 1, 1). A velocidade é igual, mas a posição é diferente, por isso os vetores são diferentes. Além disso, não dá para, por exemplo, adicionar V0 e V1, porque pertencem aos espaços vetoriais diferentes. Nomeadamente, V0 pertence ao espaço tangente no ponto (0, 0), e V1, ao espaço tangente no ponto (1, 1).

Em geometria diferencial, um campo vetorial é uma aplicação que a cada ponto faz corresponder um vetor tangente neste mesmo ponto.

[MikeAlexBillsZ]

Então
\(||\vec v|| = \sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}\)
e logo se vê que
\(\frac{d}{dt} ||\vec v|| = \frac{v_1 v_1'}{\sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}} + \dots + \frac{v_n v_n'}{\sqrt{v_n^2 + \dots +v_n^2}} = \frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\)

Então, eu não entendi a parte do "logo se vê".

Para calcular essa derivada, eu faria como em anexo. (Tentei, mas não vou fazer LaTex porque estou tendo problemas com LaTex e tenho muitas questões para fazer em 12 horas. O tempo está corrido.)

O que está errado? Preciso de detalhes como fazer a derivada da norma para chegar nesse resultado em que você chegou: \(\frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\)

Anexos

Tentativa de derivação da norma.

[MikeAlexBillsZ]

Inclusive, em anexo estão os cálculos que eu fiz para calcular o próprio resultado esperado da questão. O resultado é parecido, mas eu não sei passar daquilo para o resultado final. Escrevi tudo bem explicado para que ficasse claro qual era minha dúvida.

Anexos

Cálculos da questão inteira.

[Estanislau]

O que está errado?

Derivamos com respeito a t. Cada componente \(v_i\) depende de t. Portanto, é preciso aplicar a regra da cadeia. Por exemplo,
\((v_1^2)' = 2v_1 v_1'\)
Finalmente, reconhecemos o produto escalar no numerador e a norma no denominador.

Alternativamente, pode derivar o produto escalar usando uma propriedade da outra discussão:
\(|| \vec v ||' = (\sqrt{ \vec v \cdot \vec v })' = \frac{( \vec v \cdot \vec v )'}{2\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }} = \frac{ \vec v' \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec v'}{2\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }}=\frac{ \vec v \cdot \vec v'}{\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }}\)
mas é de facto o mesmo cálculo sob outra forma.

para que ficasse claro qual era minha dúvida.

Falhou com a regra de cadeia. Deve ser
\(((sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})^{-1})' = - \frac{(sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})'}{sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}} = - \frac{\frac{(\vec \gamma \cdot \vec \gamma)'}{2 sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}}}{sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}} = - \frac{(\vec \gamma \cdot \vec \gamma)'}{2 (sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})^3}\)
Seria mais rápido escrever
\(((\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)^{-1/2})' = \frac 12(\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)^{-3/2}(\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)'\)

Depois se deriva o produto escalar como escrevi acima.

Ou ainda mais rápido era usar a derivada da norma:
\(\left(\frac{1}{||\vec \gamma||}\right)' = -\frac{||\vec \gamma||'}{||\vec \gamma||} = -\frac{(\vec \gamma, \vec \gamma')}{||\vec \gamma||^3}\)

[MikeAlexBillsZ]

Percebi o que me escapou ao utilizar a regra da cadeia. Agora que tudo ficou mais claro, consegui realizar a questão usando a propriedade da derivada de uma divisão, como em anexo. Entendo que também poderia fazer pela derivada do produto. Obrigado.

Anexos

Figura I - Calculando a derivada de um versor de uma curva não-nula pela propriedade da derivada da divisão.

[Estanislau]

Parece-me bem. Não percebi muito bem o comentário no fim, ja que apenas multiplicamos dois vetores (o da velocidade e a derivada do versor) para demonstrar a ortogonalidade. Mas não importa.