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Derivada do versos de uma curva não-nula https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13191 |
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Autor: | Estanislau [ 27 set 2017, 19:35 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula |
Primeiro, é preciso saber que a fórmula de Leibnitz também vale em caso do produto de uma função vetorial por uma função escalar: \(\frac{d}{dt}(f(t) \vec v(t)) = \frac{df}{dt} \vec v + f \frac{d\vec v}{dt}\) Depois, é preciso saber calcular a derivada da norma. Por exemplo, seja \(\vec v(t)\) uma função vetorial e \(\vec e_1\), ..., \(\vec e_n\) uma base ortonormal e ponhamos \(\vec v(t) = v_1(t) \vec e_1 + \dots +v_n(t) \vec e_n\) Então \(||\vec v|| = \sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}\) e logo se vê que \(\frac{d}{dt} ||\vec v|| = \frac{v_1 v_1'}{\sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}} + \dots + \frac{v_n v_n'}{\sqrt{v_n^2 + \dots +v_n^2}} = \frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\) (Aliás, usando a derivada de Frechet é possível provar estes dois factos de uma maneira ainda mais simples e sem usar coordenadas.) Já pode tentar a obter a fórmula. Depois é so utilizar esta formula para calcular o produto escalar e verificar que evanesce. A propósito, trata-se de um facto conhecido que se deriva de uma maneira muito simples. Assumindo que \(|| \vec v(t) || = \mathrm{const}\), temos \(0 = \frac{d}{dt} ||\vec v(t)||^2 = \frac12 (\vec v(t), \vec v'(t))\) quer dizer \(\vec v \perp \vec v'\) caso o norma de v seja constante. Aqui utilizei outra fórmula conhecida \(\frac{d}{dt} ||\vec v(t)||^2 = \frac12 (\vec v(t), \vec v'(t))\) (que é análoga à da derivada do quadrado) que se segue da fórmula de Leibnitz para o produto escalar. |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 01 Oct 2017, 16:02 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula |
Para entender completamente a explicação, me surgiram algumas dúvidas de conceitos mais básicos que podem ficar confusos caso eu não confirme antes de pensar nos conceitos mais rebuscados. Todo campo escalar, que leva de \(R^n \rightarrow R^'\) (ou apenas R), também é uma função escalar, certo? Toda função escalar leva de um vetor (\(R^n\)) para um escalar, certo? (mesmo que o vetor seja \(R^'\), que é uma representação de vetores com apenas uma componente.) Não se pode dizer que função escalar é apenas uma função que leva de escalar para escalar (\(R \rightarrow R\)), certo? Todo campo vetorial, que leva de vetor em vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), é também uma função vetorial, certo? Toda função vetorial leva de um vetor para outro vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), certo? |
Autor: | Estanislau [ 01 Oct 2017, 19:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula |
MikeAlexBillsZ Escreveu: Para entender completamente a explicação, me surgiram algumas dúvidas de conceitos mais básicos que podem ficar confusos caso eu não confirme antes de pensar nos conceitos mais rebuscados. Todo campo escalar, que leva de \(R^n \rightarrow R^'\) (ou apenas R), também é uma função escalar, certo? Toda função escalar leva de um vetor (\(R^n\)) para um escalar, certo? (mesmo que o vetor seja \(R^'\), que é uma representação de vetores com apenas uma componente.) Não se pode dizer que função escalar é apenas uma função que leva de escalar para escalar (\(R \rightarrow R\)), certo? Tem toda a razão. MikeAlexBillsZ Escreveu: Todo campo vetorial, que leva de vetor em vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), é também uma função vetorial, certo? Toda função vetorial leva de um vetor para outro vetor (\(R^n \rightarrow R^m\)), certo? Já aqui há uma certa simplificação... Às vezes os termos são utilizados neste sentido. Mais rigorosamente, em geometria diferencial um vetor é a velocidade de uma curva num ponto particular. A cada ponto de uma «variedade» corresponde um espaço vetorial dos velocidades nesto ponto. Por exemplo, consideremos a curva φ(t) = (t, t) no plano. Em t = 0, a posição é (0, 0), e derivando, obtemos a velocidade (1, 1); então o vetor tangente pode ser escrito como V0 = (0, 0; 1 1), incluindo e posição, e a velocidade. Já em t = 1 o vetor tangente é diferente: V1 = (1, 1; 1, 1). A velocidade é igual, mas a posição é diferente, por isso os vetores são diferentes. Além disso, não dá para, por exemplo, adicionar V0 e V1, porque pertencem aos espaços vetoriais diferentes. Nomeadamente, V0 pertence ao espaço tangente no ponto (0, 0), e V1, ao espaço tangente no ponto (1, 1). Em geometria diferencial, um campo vetorial é uma aplicação que a cada ponto faz corresponder um vetor tangente neste mesmo ponto. |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 02 Oct 2017, 02:23 ] | ||
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula | ||
Estanislau Escreveu: Então \(||\vec v|| = \sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}\) e logo se vê que \(\frac{d}{dt} ||\vec v|| = \frac{v_1 v_1'}{\sqrt{v_1^2 + \dots +v_n^2}} + \dots + \frac{v_n v_n'}{\sqrt{v_n^2 + \dots +v_n^2}} = \frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\) Então, eu não entendi a parte do "logo se vê". Para calcular essa derivada, eu faria como em anexo. (Tentei, mas não vou fazer LaTex porque estou tendo problemas com LaTex e tenho muitas questões para fazer em 12 horas. O tempo está corrido.) O que está errado? Preciso de detalhes como fazer a derivada da norma para chegar nesse resultado em que você chegou: \(\frac{(\vec v, \vec v')}{||\vec v||}\)
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Autor: | MikeAlexBillsZ [ 02 Oct 2017, 03:17 ] | ||
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula | ||
Inclusive, em anexo estão os cálculos que eu fiz para calcular o próprio resultado esperado da questão. O resultado é parecido, mas eu não sei passar daquilo para o resultado final. Escrevi tudo bem explicado para que ficasse claro qual era minha dúvida.
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Autor: | Estanislau [ 02 Oct 2017, 09:25 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula [resolvida] |
Citar: O que está errado? Derivamos com respeito a t. Cada componente \(v_i\) depende de t. Portanto, é preciso aplicar a regra da cadeia. Por exemplo, \((v_1^2)' = 2v_1 v_1'\) Finalmente, reconhecemos o produto escalar no numerador e a norma no denominador. Alternativamente, pode derivar o produto escalar usando uma propriedade da outra discussão: \(|| \vec v ||' = (\sqrt{ \vec v \cdot \vec v })' = \frac{( \vec v \cdot \vec v )'}{2\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }} = \frac{ \vec v' \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec v'}{2\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }}=\frac{ \vec v \cdot \vec v'}{\sqrt{ \vec v \cdot \vec v }}\) mas é de facto o mesmo cálculo sob outra forma. Citar: para que ficasse claro qual era minha dúvida. Falhou com a regra de cadeia. Deve ser \(((sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})^{-1})' = - \frac{(sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})'}{sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}} = - \frac{\frac{(\vec \gamma \cdot \vec \gamma)'}{2 sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}}}{sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma}} = - \frac{(\vec \gamma \cdot \vec \gamma)'}{2 (sqrt{\vec \gamma \cdot \vec \gamma})^3}\) Seria mais rápido escrever \(((\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)^{-1/2})' = \frac 12(\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)^{-3/2}(\vec \vec \vec \gamma \cdot \vec \vec \vec \gamma)'\) Depois se deriva o produto escalar como escrevi acima. Ou ainda mais rápido era usar a derivada da norma: \(\left(\frac{1}{||\vec \gamma||}\right)' = -\frac{||\vec \gamma||'}{||\vec \gamma||} = -\frac{(\vec \gamma, \vec \gamma')}{||\vec \gamma||^3}\) |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 08 Oct 2017, 15:28 ] | ||
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula | ||
Percebi o que me escapou ao utilizar a regra da cadeia. Agora que tudo ficou mais claro, consegui realizar a questão usando a propriedade da derivada de uma divisão, como em anexo. Entendo que também poderia fazer pela derivada do produto. Obrigado.
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Autor: | Estanislau [ 14 Oct 2017, 20:40 ] |
Título da Pergunta: | Re: Derivada do versos de uma curva não-nula |
Parece-me bem. Não percebi muito bem o comentário no fim, ja que apenas multiplicamos dois vetores (o da velocidade e a derivada do versor) para demonstrar a ortogonalidade. Mas não importa. |
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