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MensagemEnviado: 01 Oct 2017, 21:32 
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Eu tenho algumas anotações de caderno que podem estar erradas e gostaria de tirar algumas dúvidas.

Na Figura I, as definições são:

\(\vec \gamma : I \subseteq R \to R^m\)
\(\vec \delta : I \subseteq R \to R^m\)

Porém, aparece a definição da função escalar c, mas diz que leva de \(R \to R^m\). Porém, funções escalares levam de \(R \to R\) ou de \(R^m \to R\) (quando é uma função escalar de mais de uma variável, ou no caso, campo escalar), correto?

Então eu corrigi a anotação para

\(c : I \subseteq R^m \to R\)

O pensamento e a correção estão corretos? Considerando que estão, vamos passar adiante.

O vetor \(\vec c\) foi definido como \(\vec c = (c1, c2, ..., cm)\) ou seja, \(\vec c \in R^m\). Então, o vetor \(\vec c\) é um vetor do domínio da função escalar c.

Na Figura II, temos 3 definições. Abaixo de cada definição, uma consequência da definição respectiva.

Definição I:
\((\vec \gamma + \vec \delta)(t) = \vec \gamma(t) + \vec \delta \in R^m\)

O que eu entendo dessa definição é que para somar dois caminhos/curvas, se obtém um novo caminho/curva somando-se cada componente da função. Gostaria de dar um exemplo para ver se entendi:

Se as funções vetoriais (é correto chamar caminho/curva de função vetorial? Afinal, eles levam de vetor para vetor) são:

\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^3\)
\(\vec \delta = (2t, 2t^2, 5 + t^3) \in R^3\)

então,

\(\vec \gamma + \vec \delta = (-t^2 + 2t, 3t^2 -2, 9 - t^2 + t^3)\), que também é um caminho de \(R^m\), com m = 3.

Correto?

Definição II:

\((s\vec \gamma)(t) = s\vec \gamma(t) \in R^m\)

A propriedade diz que multiplicando um escalar por um caminho/curva, o caminho/curva (função vetorial) será multiplicado pelo escalar como um vetor é multiplicado por escalar, certo? Então, considerando o mesmo vetor \(\vec \gamma\) anterior e tomando \(s \in R\) como s = 2, temos:


\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\)
\(2\vec \gamma = 2(-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) = (-2t^2, 2t^2 - 4, 8 - 2t^2)\), que também é um vetor de \(R^m\), com m = 3.

Tudo correto no raciocínio? Algo que eu não entendi bem?

Definição III:

Nessa definição que eu me confundo mais, principalmente com as propriedades depois.

\((\vec c \cdot \vec \gamma)(t) = \vec c \cdot \vec \gamma(t) \in R\)

Repare que nas anotações, não aparece ponto para denotar produto escalar (produto interno), mas deveria ter, né?

Outra dúvida, eu estou tomando o vetor \(\vec c\) como um vetor de números escalares que não são funções de t. Se esse vetor for uma função vetorial, na verdade, ele é um caminho/curva? Ou ele é só uma função vetorial? Ou toda função vetorial de \(R \to R^m\) é um caminho/curva? Por favor, explique bem essa parte, com detalhes, porque ela me deixa confuso. Talvez ele seja um caminho/curva, e a definição lá em cima seja que c é uma função vetorial, em vez de função escalar.

Tomando como exemplo

\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\)
\(\vec c = (2,8,2)\)

Então,

\(\vec c \cdot \vec \gamma = -2t^2 + 8t^2 - 16 + 8 - 2t^2 = 4t^2 -8 \in R\), que pertence a R.

Está tudo correto? Inclusive, a anotação diz que \(\vec \gamma\) é uma curva contida ou igual ao R, mas é uma curva contida ou igual ao \(R^m\), certo?

Por mais triste que seja para mim, essa foi só a parte simples para chegar nas propriedades da Figura III.

Propriedades

(i) \({(\vec \gamma + \vec \delta)}' = {\vec \gamma} + {\vec \delta}' \in R^m\)

Acho que essa é simples. A derivada da soma de caminhos/curvas (funções vetoriais?) é igual a soma das derivadas dos caminhos/curvas. Os dois caminhos/curvas só podem ser somados se os dois forem de \(R^m\) e a soma das derivadas também será do \(R^m\).

(ii) \({(s\vec \gamma)}'(t) = s{\vec \gamma}'(t) \in R^m\)

Note que o ponto significa multiplicação de escalar por um caminho/curva, não o produto escalar, já que s não é um vetor. Também acho que essa é simples. A derivada do produto de um escalar por um caminho/curva é igual a multiplicação do escalar pela derivada do caminho/curva. O resultado será do mesmo espaço vetorial (\(R^m\)) que o produto original.

(iii) \({(p\vec \gamma)}'(t) = {p}'(t)\vec \gamma(t) + p(t){\vec \gamma}'(t)\) (Correção correta? Comparar com a anotação da Figura III.)

Repare que na anotação, não está escrito derivada na multiplicação da função escalar pelo caminho/curva, mas nesse caso, claro que tem, porque são propriedades envolvendo derivada. Porém, não há derivada no segundo termo, mas tem, certo? Ou seja, a derivada da multiplicação da função escalar pelo caminho/curva é igual a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. Correto?

E, como nas outras propriedades, a soma dos dois termos-produto pertence ao \(R^m\).

Para usar de exemplo, se a correção acima for correta, vamos tomar p(t) = 2t, enquanto \(\gamma\) será

\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^m\) (m=3)

Dessa forma,

\({(p(t)\vec \gamma})' = 2(-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) + 2t(-2t, 2t, -2t) = (-2t^2, 2t^2 - 4, 8 - 2t^2) + (-4t^2, 4t^2, -4t^2) = (-6t^2, 6t^2 - 4, 8 - 6t^2)\) - FORMA CORRETA?

\({(p(t)\vec \gamma})' = {(-2t^3, 2t^3 - 4t,8t - 2t^3)}' = (-6t^2, 6t^2 - 4, 8 - 6t^2)\) - FORMA INCORRETA OU EQUIVALENTE?


(iv)\({(\vec c \cdot \vec \gamma)}' = {(\vec c(t) \cdot \vec \gamma(t))}' \in R\) - CORREÇÃO CORRETA?

DÚVIDA IMPORTANTE - Nesse caso, a anotação mostra que a derivada do produto escalar de um vetor por um caminho/curva é igual ao produto escalar do vetor pelo caminho/curva. Porém, é a derivada desse produto escalar, certo? E o vetor \(\vec c\) tem que ser um vetor com escalares como componentes, e não funções escalares, certo?

No caso, vou usar outro exemplo para ver se está certo:

Tomando

\(\vec c = (1, 2, 4) \in R^3\)
\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^3\)

\({(\vec c \cdot \vec \gamma)}' = {(-t^2 + 2t^2 - 4 + 16 - 4t^2)}' = {(-3t^2 + 12)}' = -6t \in R\) - CORRETO?

Ou seja, a derivada do produto escalar entre um vetor e um caminho/curva (função vetorial) resulta em um valor escalar. Correto?

(v) \({(\vec \gamma \cdot \vec \delta)}' = {\vec \gamma}'(t) \cdot \vec \delta(t) + \vec \gamma(t) \cdot {\vec \delta}'(t)\)

A diferença dessa propriedade para a propriedade (iii) é que o resultado pertence a R em vez de \(R^m\). Correto? A derivada do produto escalar entre dois caminhos/curvas é igual a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. A multiplicação nesse caso é produto escalar.

Eu estou formulando escrevendo tudo isso, inclusive em LaTex, faz umas 4/5 horas. Ficou grande, mas acredito que responder seja mais rápido. Obrigado de antemão a quem responder.


Anexos:
Comentário do Ficheiro: Figura III

Propriedades (de derivadas).

Screenshot 2017-10-01 14.28.18.png
Screenshot 2017-10-01 14.28.18.png [ 1.21 MiB | Visualizado 398 vezes ]
Comentário do Ficheiro: Figura II

Definições.

Screenshot 2017-10-01 13.00.15.png
Screenshot 2017-10-01 13.00.15.png [ 1000.11 KiB | Visualizado 398 vezes ]
Comentário do Ficheiro: Figura I

Definições das curvas gama, delta e de uma função escalar para serem tomadas como base para o resto das explicações.

Screenshot 2017-10-01 12.32.55.png
Screenshot 2017-10-01 12.32.55.png [ 550.02 KiB | Visualizado 398 vezes ]
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MensagemEnviado: 02 Oct 2017, 02:21 
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Parece que \(\vec c\) também é um caminho, assim como \(\vec \gamma\) (se apenas viesse o caderno, diria que é v) e \(\vec \gamma\). Então \(\vec c\) é uma função que a cada número de \(I\) faz corresponder um ponto em R^m: \(\vec c:I -> {\mathbb R}^m\). O que escrito na folha é correto (só que no início falta a seta do vetor). Aliás, na geometria diferencial não é costume escrever setas daquelas.

A intuição de um caminho é um ponto a mover no espaço. Pode-se definir caminhos num qualquer conjunto. Dado um conjunto X, podemos imaginar um ponto nele que percorre um trajeto. Isto é, a posição do ponto depende (é uma função) do tempo. Deixando fora a noção de tempo, obtemos a definição de um caminho como uma função I → X, onde I é um intervalo de R.

Como os pontos de R^m têm m componentes, uma função \(\vec c : I \to {\mathbb R}^n\) pode ser representada como uma família de m funções numéricas, \(\vec c(t) = (c_1(t), \dots, c_m(t))\).

Definição 1.

Percebeu corretamente. Falta t na fórmula:
\((\vec \gamma + \vec \delta)(t) = \vec \gamma(t) + \vec \delta(t)\)
E claro que estas funções levam de número (não de vetor!) para vetor: ao número t corresponde, por exemplo, o vetor (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2).

Definição 2.

Parece que percebeu tudo perfeitamente.

Definição 3.

Devia haver um ponto, sim.

Uma função pode muito bem «não depender» do argumento: é uma função constante. Toda função definida num intervalo que toma valores em \({\mathbb R}^n\), é um caminho. Se não está confortável com o facto de t não aparecer explicitamente, pode escrever \(\vec c(t) = (2 + 0t, 8 + 0t, 2 + 0t)\), já aparece. :) Você calculou o produto corretamente.

O domínio de \(\vec c\) é contido em \({\mathbb R}\) (é um intervalo). Para cada t, o valor \(\vec c(t)\) do caminho \(\vec c(t)\) pertence a \({\mathbb R}^m\), ou seja, o conjunto dos valores do caminho é contido em \({\mathbb R}^m\). O mesmo vale para o caminho \(\vec \gamma(t)\). Agora dado t, o produto \((\vec c \cdot \vec \gamma)(t)\) é um numero, quer dizer o produto é uma função numérica: \(\vec c \cdot \vec \gamma : I \to {\mathbb R}\).

Propriedade 1.

Falta uma plica:
\((\vec \gamma + \vec \delta)' = \vec \gamma' + \vec \delta'\)
Percebeu corretamente. É uma consequência imediata da regra usual para funções numéricas, porque os vetores são somados componente por componente.

Propriedade 2.
Perfeito. Sem ponto é melhor.

Propriedade 3.
Está tudo correto, incluindo a correção é os cálculos. De acordo com a fórmula, pode-se chegar ao mesmo resultado por dois caminhos.

Propriedade 4.
Pelos vistos aqui \(\vec c\) não depende de t, e a correção deve ser
\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\)
(faltava uma plica e também, como c não depende de t, não escrevemos c(t)).
O resultado está correto.

Propriedade 5.
Sim, exatamente.

Se algo não estiver claro, pergunte! :)

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MensagemEnviado: 02 Oct 2017, 02:45 
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Muito, muito obrigado. Só uma parte da explicação que eu ainda tenho dúvida.

Estanislau Escreveu:
Propriedade 4.
Pelos vistos aqui \(\vec c\) não depende de t, e a correção deve ser
\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\)
(faltava uma plica e também, como c não depende de t, não escrevemos c(t)).
O resultado está correto.


Se

\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\),

isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho?

Já que você disse que o resultado está correto, eu vou assumir que é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho.


Editado pela última vez por Estanislau em 02 Oct 2017, 09:26, num total de 1 vez.
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MensagemEnviado: 02 Oct 2017, 10:30 
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MikeAlexBillsZ Escreveu:
isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho?

Pode e é. :)

MikeAlexBillsZ Escreveu:
é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho.

Ai, não. O produto escalar entre um «vetor constante» e um campo vetorial é uma função escalar. A derivada desta função já é igual ao produto escalar entre o vetor e a derivada do campo. (Se calhar é isto que você queria escrever.)

Finalmente!! Percebi as vossas notações. Se está com presa agora, pode não ligar, leia depois.

Em matemática em geral, um vetor é um elemento de qualquer espaço vetorial, quer dizer, de um conjunto onde são definidas a soma e o produto por um número. Em geometria diferencial, normalmente um vetor é especificamente um elemento do espaço tangente que é um certo espaço associado com qualquer ponto de um espaço/superfície/variedade diferencial.

Vocês «vivem» em \({\mathbb R}^m\). Os elementos de \({\mathbb R}^m\) podem ser intuitivamente visualizados como «pontos» ou como «setas». Do ponto de vista de geometria, são pontos. Um caminho (= uma curva parametrizada) podemos visualizar como um ponto a percorrer uma linha curva.

Já a velocidade de uma curva é melhor visualizada como uma seta. Se a curva passar por um ponto x, a velocidade neste ponto pode ser representada por uma seta que sai de x. É este um vetor tangente. Os vetores tangentes no ponto x são velocidades neste ponto de todas as curvas (suaves) que passam por x. Estes vetores formam o espaço tangente no ponto x. Dado outro ponto y, o espaço tangente em y é formado pelas velocidades neste ponto das curvas que passam por y. É um espaco diferente. Os vetores tangentes em y são visualizados como setas com origem y. Quer dizer, a origem importa.


Matematicamente, um bom método de definir um vetor tangente no ponto x é como um par (x; v), onde \(v \in {\mathbb R}^\) represente a «seta» e x, a «origem» dela. A velocidade de uma curva c no instante t é definida como o vetor \dot c(t) = (c(t); c'(t)), onde c(t) é a origem e c'(t) é a derivada das componentes (a «seta»). Seja \(c(t) = (t, t)\) uma curva (de facto, reta :)) em \({\mathbb R}^2\), então a velocidade em t = 0 é (0, 0; 1, 1).

Dada uma curva \(c : I \to {\mathbb R}^m\), um campo vetorial ao longo de c é uma função que a cada t ∈ I faz corresponder um vetor tangente no ponto c(t). Visualmente, de cada ponto da curva sai um vetor. Por exemplo, o campo de velocidades da curva é um campo vetorial ao longo dela. Outro exemplo é um campo da forma (c(t), v), onde v não depende de t; tais campos chamam-se paralelos. Somar pontos faz pouco sentido, já somar campos vetoriais faz todo o sentido, e as propriedades tipo «derivada da soma» aplicam-se na verdade aos campos vetoriais.

Agora vocês ignoram as origens dos vetores e não fazem distinção formal entre pontos e vetores tangentes. Se calhar, isto simplifica certas coisas, mas também produz confusão.

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MensagemEnviado: 08 Oct 2017, 15:19 
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Estanislau Escreveu:
MikeAlexBillsZ Escreveu:
isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho?

Pode e é. :)

MikeAlexBillsZ Escreveu:
é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho.

Ai, não. O produto escalar entre um «vetor constante» e um campo vetorial é uma função escalar. A derivada desta função já é igual ao produto escalar entre o vetor e a derivada do campo. (Se calhar é isto que você queria escrever.)



Acho que é correto dizer que a derivada do produto escalar entre um vetor, mesmo constante, e um caminho resulta tanto no produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho quanto realizar primeiro o produto escalar, para depois derivar a função escalar resultante. Assim:

\(\vec c = (2,3,4)\)
\(\vec \gamma (t) = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\)

\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t) = (2, 3, 4) \cdot (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)' = (2, 3, 4) \cdot (-2t, 2t, -2t) = -4t + 6t -8t\)

e

\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = [(2,3,4) \cdot (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)]' = [-2t^2 + 3t^2 - 6 + 16 - 4t^2]' = -4t + 6t -8t\)

Estanislau Escreveu:
Finalmente!! Percebi as vossas notações. Se está com presa agora, pode não ligar, leia depois.

Em matemática em geral, um vetor é um elemento de qualquer espaço vetorial, quer dizer, de um conjunto onde são definidas a soma e o produto por um número. Em geometria diferencial, normalmente um vetor é especificamente um elemento do espaço tangente que é um certo espaço associado com qualquer ponto de um espaço/superfície/variedade diferencial.

Vocês «vivem» em \({\mathbb R}^m\). Os elementos de \({\mathbb R}^m\) podem ser intuitivamente visualizados como «pontos» ou como «setas». Do ponto de vista de geometria, são pontos. Um caminho (= uma curva parametrizada) podemos visualizar como um ponto a percorrer uma linha curva.

Já a velocidade de uma curva é melhor visualizada como uma seta. Se a curva passar por um ponto x, a velocidade neste ponto pode ser representada por uma seta que sai de x. É este um vetor tangente. Os vetores tangentes no ponto x são velocidades neste ponto de todas as curvas (suaves) que passam por x. Estes vetores formam o espaço tangente no ponto x. Dado outro ponto y, o espaço tangente em y é formado pelas velocidades neste ponto das curvas que passam por y. É um espaco diferente. Os vetores tangentes em y são visualizados como setas com origem y. Quer dizer, a origem importa.


Matematicamente, um bom método de definir um vetor tangente no ponto x é como um par (x; v), onde \(v \in {\mathbb R}^\) represente a «seta» e x, a «origem» dela. A velocidade de uma curva c no instante t é definida como o vetor \dot c(t) = (c(t); c'(t)), onde c(t) é a origem e c'(t) é a derivada das componentes (a «seta»). Seja \(c(t) = (t, t)\) uma curva (de facto, reta :)) em \({\mathbb R}^2\), então a velocidade em t = 0 é (0, 0; 1, 1).

Dada uma curva \(c : I \to {\mathbb R}^m\), um campo vetorial ao longo de c é uma função que a cada t ∈ I faz corresponder um vetor tangente no ponto c(t). Visualmente, de cada ponto da curva sai um vetor. Por exemplo, o campo de velocidades da curva é um campo vetorial ao longo dela. Outro exemplo é um campo da forma (c(t), v), onde v não depende de t; tais campos chamam-se paralelos. Somar pontos faz pouco sentido, já somar campos vetoriais faz todo o sentido, e as propriedades tipo «derivada da soma» aplicam-se na verdade aos campos vetoriais.

Agora vocês ignoram as origens dos vetores e não fazem distinção formal entre pontos e vetores tangentes. Se calhar, isto simplifica certas coisas, mas também produz confusão.


E obrigado pelo complemento. De fato, no dia, eu estava com pressa com a prova no dia, mas agora, já pude ler com mais calma, já que só tenho prova de Cálculo 3 mês que vem. Agora, vou participar do fórum mais ativamente até lá.

Percebi agora como é melhor visualizar cada conceito para entender de forma menos confusa. Por isso gosto de discussões longas. Definições curtas podem causar confusão, enquanto ver o mesmo assunto expressado de diferentes formas ajuda as sinapses se organizarem.


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