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Operações com caminhos e funções escalares/vetoriais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13204 |
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Autor: | Estanislau [ 02 Oct 2017, 02:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Operações com caminhos e funções escalares/vetoriais |
Parece que \(\vec c\) também é um caminho, assim como \(\vec \gamma\) (se apenas viesse o caderno, diria que é v) e \(\vec \gamma\). Então \(\vec c\) é uma função que a cada número de \(I\) faz corresponder um ponto em R^m: \(\vec c:I -> {\mathbb R}^m\). O que escrito na folha é correto (só que no início falta a seta do vetor). Aliás, na geometria diferencial não é costume escrever setas daquelas. A intuição de um caminho é um ponto a mover no espaço. Pode-se definir caminhos num qualquer conjunto. Dado um conjunto X, podemos imaginar um ponto nele que percorre um trajeto. Isto é, a posição do ponto depende (é uma função) do tempo. Deixando fora a noção de tempo, obtemos a definição de um caminho como uma função I → X, onde I é um intervalo de R. Como os pontos de R^m têm m componentes, uma função \(\vec c : I \to {\mathbb R}^n\) pode ser representada como uma família de m funções numéricas, \(\vec c(t) = (c_1(t), \dots, c_m(t))\). Definição 1. Percebeu corretamente. Falta t na fórmula: \((\vec \gamma + \vec \delta)(t) = \vec \gamma(t) + \vec \delta(t)\) E claro que estas funções levam de número (não de vetor!) para vetor: ao número t corresponde, por exemplo, o vetor (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2). Definição 2. Parece que percebeu tudo perfeitamente. Definição 3. Devia haver um ponto, sim. Uma função pode muito bem «não depender» do argumento: é uma função constante. Toda função definida num intervalo que toma valores em \({\mathbb R}^n\), é um caminho. Se não está confortável com o facto de t não aparecer explicitamente, pode escrever \(\vec c(t) = (2 + 0t, 8 + 0t, 2 + 0t)\), já aparece. Você calculou o produto corretamente. O domínio de \(\vec c\) é contido em \({\mathbb R}\) (é um intervalo). Para cada t, o valor \(\vec c(t)\) do caminho \(\vec c(t)\) pertence a \({\mathbb R}^m\), ou seja, o conjunto dos valores do caminho é contido em \({\mathbb R}^m\). O mesmo vale para o caminho \(\vec \gamma(t)\). Agora dado t, o produto \((\vec c \cdot \vec \gamma)(t)\) é um numero, quer dizer o produto é uma função numérica: \(\vec c \cdot \vec \gamma : I \to {\mathbb R}\). Propriedade 1. Falta uma plica: \((\vec \gamma + \vec \delta)' = \vec \gamma' + \vec \delta'\) Percebeu corretamente. É uma consequência imediata da regra usual para funções numéricas, porque os vetores são somados componente por componente. Propriedade 2. Perfeito. Sem ponto é melhor. Propriedade 3. Está tudo correto, incluindo a correção é os cálculos. De acordo com a fórmula, pode-se chegar ao mesmo resultado por dois caminhos. Propriedade 4. Pelos vistos aqui \(\vec c\) não depende de t, e a correção deve ser \((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\) (faltava uma plica e também, como c não depende de t, não escrevemos c(t)). O resultado está correto. Propriedade 5. Sim, exatamente. Se algo não estiver claro, pergunte! |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 02 Oct 2017, 02:45 ] |
Título da Pergunta: | Re: Operações com caminhos e funções escalares/vetoriais |
Muito, muito obrigado. Só uma parte da explicação que eu ainda tenho dúvida. Estanislau Escreveu: Propriedade 4. Pelos vistos aqui \(\vec c\) não depende de t, e a correção deve ser \((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\) (faltava uma plica e também, como c não depende de t, não escrevemos c(t)). O resultado está correto. Se \((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\), isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho? Já que você disse que o resultado está correto, eu vou assumir que é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho. |
Autor: | Estanislau [ 02 Oct 2017, 10:30 ] |
Título da Pergunta: | Re: Operações com caminhos e funções escalares/vetoriais [resolvida] |
MikeAlexBillsZ Escreveu: isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho? Pode e é. MikeAlexBillsZ Escreveu: é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho. Ai, não. O produto escalar entre um «vetor constante» e um campo vetorial é uma função escalar. A derivada desta função já é igual ao produto escalar entre o vetor e a derivada do campo. (Se calhar é isto que você queria escrever.) Finalmente!! Percebi as vossas notações. Se está com presa agora, pode não ligar, leia depois. Em matemática em geral, um vetor é um elemento de qualquer espaço vetorial, quer dizer, de um conjunto onde são definidas a soma e o produto por um número. Em geometria diferencial, normalmente um vetor é especificamente um elemento do espaço tangente que é um certo espaço associado com qualquer ponto de um espaço/superfície/variedade diferencial. Vocês «vivem» em \({\mathbb R}^m\). Os elementos de \({\mathbb R}^m\) podem ser intuitivamente visualizados como «pontos» ou como «setas». Do ponto de vista de geometria, são pontos. Um caminho (= uma curva parametrizada) podemos visualizar como um ponto a percorrer uma linha curva. Já a velocidade de uma curva é melhor visualizada como uma seta. Se a curva passar por um ponto x, a velocidade neste ponto pode ser representada por uma seta que sai de x. É este um vetor tangente. Os vetores tangentes no ponto x são velocidades neste ponto de todas as curvas (suaves) que passam por x. Estes vetores formam o espaço tangente no ponto x. Dado outro ponto y, o espaço tangente em y é formado pelas velocidades neste ponto das curvas que passam por y. É um espaco diferente. Os vetores tangentes em y são visualizados como setas com origem y. Quer dizer, a origem importa. Matematicamente, um bom método de definir um vetor tangente no ponto x é como um par (x; v), onde \(v \in {\mathbb R}^\) represente a «seta» e x, a «origem» dela. A velocidade de uma curva c no instante t é definida como o vetor \dot c(t) = (c(t); c'(t)), onde c(t) é a origem e c'(t) é a derivada das componentes (a «seta»). Seja \(c(t) = (t, t)\) uma curva (de facto, reta ) em \({\mathbb R}^2\), então a velocidade em t = 0 é (0, 0; 1, 1). Dada uma curva \(c : I \to {\mathbb R}^m\), um campo vetorial ao longo de c é uma função que a cada t ∈ I faz corresponder um vetor tangente no ponto c(t). Visualmente, de cada ponto da curva sai um vetor. Por exemplo, o campo de velocidades da curva é um campo vetorial ao longo dela. Outro exemplo é um campo da forma (c(t), v), onde v não depende de t; tais campos chamam-se paralelos. Somar pontos faz pouco sentido, já somar campos vetoriais faz todo o sentido, e as propriedades tipo «derivada da soma» aplicam-se na verdade aos campos vetoriais. Agora vocês ignoram as origens dos vetores e não fazem distinção formal entre pontos e vetores tangentes. Se calhar, isto simplifica certas coisas, mas também produz confusão. |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 08 Oct 2017, 15:19 ] |
Título da Pergunta: | Re: Operações com caminhos e funções escalares/vetoriais |
Estanislau Escreveu: MikeAlexBillsZ Escreveu: isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho? Pode e é. MikeAlexBillsZ Escreveu: é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho. Ai, não. O produto escalar entre um «vetor constante» e um campo vetorial é uma função escalar. A derivada desta função já é igual ao produto escalar entre o vetor e a derivada do campo. (Se calhar é isto que você queria escrever.) Acho que é correto dizer que a derivada do produto escalar entre um vetor, mesmo constante, e um caminho resulta tanto no produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho quanto realizar primeiro o produto escalar, para depois derivar a função escalar resultante. Assim: \(\vec c = (2,3,4)\) \(\vec \gamma (t) = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\) \((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t) = (2, 3, 4) \cdot (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)' = (2, 3, 4) \cdot (-2t, 2t, -2t) = -4t + 6t -8t\) e \((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = [(2,3,4) \cdot (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)]' = [-2t^2 + 3t^2 - 6 + 16 - 4t^2]' = -4t + 6t -8t\) Estanislau Escreveu: Finalmente!! Percebi as vossas notações. Se está com presa agora, pode não ligar, leia depois. Em matemática em geral, um vetor é um elemento de qualquer espaço vetorial, quer dizer, de um conjunto onde são definidas a soma e o produto por um número. Em geometria diferencial, normalmente um vetor é especificamente um elemento do espaço tangente que é um certo espaço associado com qualquer ponto de um espaço/superfície/variedade diferencial. Vocês «vivem» em \({\mathbb R}^m\). Os elementos de \({\mathbb R}^m\) podem ser intuitivamente visualizados como «pontos» ou como «setas». Do ponto de vista de geometria, são pontos. Um caminho (= uma curva parametrizada) podemos visualizar como um ponto a percorrer uma linha curva. Já a velocidade de uma curva é melhor visualizada como uma seta. Se a curva passar por um ponto x, a velocidade neste ponto pode ser representada por uma seta que sai de x. É este um vetor tangente. Os vetores tangentes no ponto x são velocidades neste ponto de todas as curvas (suaves) que passam por x. Estes vetores formam o espaço tangente no ponto x. Dado outro ponto y, o espaço tangente em y é formado pelas velocidades neste ponto das curvas que passam por y. É um espaco diferente. Os vetores tangentes em y são visualizados como setas com origem y. Quer dizer, a origem importa. Matematicamente, um bom método de definir um vetor tangente no ponto x é como um par (x; v), onde \(v \in {\mathbb R}^\) represente a «seta» e x, a «origem» dela. A velocidade de uma curva c no instante t é definida como o vetor \dot c(t) = (c(t); c'(t)), onde c(t) é a origem e c'(t) é a derivada das componentes (a «seta»). Seja \(c(t) = (t, t)\) uma curva (de facto, reta ) em \({\mathbb R}^2\), então a velocidade em t = 0 é (0, 0; 1, 1). Dada uma curva \(c : I \to {\mathbb R}^m\), um campo vetorial ao longo de c é uma função que a cada t ∈ I faz corresponder um vetor tangente no ponto c(t). Visualmente, de cada ponto da curva sai um vetor. Por exemplo, o campo de velocidades da curva é um campo vetorial ao longo dela. Outro exemplo é um campo da forma (c(t), v), onde v não depende de t; tais campos chamam-se paralelos. Somar pontos faz pouco sentido, já somar campos vetoriais faz todo o sentido, e as propriedades tipo «derivada da soma» aplicam-se na verdade aos campos vetoriais. Agora vocês ignoram as origens dos vetores e não fazem distinção formal entre pontos e vetores tangentes. Se calhar, isto simplifica certas coisas, mas também produz confusão. E obrigado pelo complemento. De fato, no dia, eu estava com pressa com a prova no dia, mas agora, já pude ler com mais calma, já que só tenho prova de Cálculo 3 mês que vem. Agora, vou participar do fórum mais ativamente até lá. Percebi agora como é melhor visualizar cada conceito para entender de forma menos confusa. Por isso gosto de discussões longas. Definições curtas podem causar confusão, enquanto ver o mesmo assunto expressado de diferentes formas ajuda as sinapses se organizarem. |
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