Comprimento de arco entre intervalo de função

[MikeAlexBillsZ]

A questão está na Figura I e meus cálculos e minha resposta estão na Figura II. Os cálculos e o resultado estão corretos?

Obs.: Não fiz diretamente a integral entre -1 e 1, e sim entre 0 e 1, para depois multiplicar o resultado por dois, já que no ponto (0,0) não existe reta tangente. Isso também está correto?
Obs.2: Preciso dessa resolução o mais rápido possível. Tenho prova daqui a 2 horas.

Anexos

Figura II - Resolução

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Figura I - Questão

Screenshot 2017-10-02 10.07.38.png (84.3 KiB) Visualizado 1883 vezes

[Estanislau]

O raciocínio está correto. Vamos usar a Maxima para verificar os cálculos.

Código:

Maxima 5.38.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) x: t^3$ y: t^2$

(%i3) x^2 - y^3;
(%o3)                                  0
(%i4) integrate(sqrt(diff(x, t)^2 + diff(y, t)^2), t, 0, 1);
                                    3/2
                                  13      8
(%o4)                             ----- - --
                                   27     27
(%i5) float(%);
(%o5)                          1.43970987337155


Por alguma razão, a sua integral está duas vezes menor. Agora, donde vem 1/2? Temos
\(\int_0^1 t \sqrt{9t^2 + 4} \, dt = \frac{1}{18} \int_0^1 (9t^2 + 4)^{1/2} \, d(9t^2 + 4) = \frac{1}{18} \left. \frac{(9t^2 + 4)^{3/2}}{3/2} \right|_0^1\)

Boa sorte!

[Estanislau]

Obs.: Não fiz diretamente a integral entre -1 e 1, e sim entre 0 e 1, para depois multiplicar o resultado por dois, já que no ponto (0,0) não existe reta tangente.

Na verdade podia integrar entre -1 e 1 que a sua parametrização é diferenciavel. O facto de a velocidade evanescer não importa.

[MikeAlexBillsZ]

Obrigado, Etanislau. Me ajudou muito e a minha dúvida está sanada. Aquele 1/2 foi um descuido, mesmo. Não deveria estar lá. Consegui fazer a prova de segunda-feira com segurança, inclusive.