Determine o conjunto dos pontos da esfera cuja distância a P é igual a 2r

[Rodrigues1964]

Considere uma esfera de raio r e um ponto P distando 2r do centro da
esfera. Determine o conjunto dos pontos da esfera cuja distância a P é
igual a 2r.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Primeiramente, vamos calcular o valor de X usando potência de ponto.
\(x.(2R)=R.(3R)
x=\dfrac{3R^2}{2R}
x=\dfrac{3R}{2}\)

Este valor não terá serventia alguma... mas não sei pq quis calculá-lo:)

Bom, veja que o triângulo hachurado tem lados de medidas 2R, 2R e R, certo? Podemos encontrar sua área usando o teorema de Herão.
Primeiramente calculamos o seu semi-perímetro e usando este valor encontramos sua área.
\(p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{R+2R+2R}{2}
p=\dfrac{5R}{2}\)

Agora, a área:
\(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
A=\sqrt{\dfrac{5R}{2}\cdot\left(\dfrac{5R}{2}-R\right)\cdot\left(\dfrac{5R}{2}-2R\right)\cdot\left(\dfrac{5R}{2}-2R\right)}
A=\sqrt{\dfrac{5R}{2}\cdot\dfrac{3R}{2}\cdot\dfrac{R}{2}\cdot\dfrac{R}{2}}
A=\dfrac{R^2\sqrt{15}}{4}\)

Bom, agora que temos o valor da área, podemos encontrar o valor de h:
\(A=\dfrac{2R\cdot h}{2}=\dfrac{R^2\sqrt{15}}{4}
h=\dfrac{R\sqrt{15}}{4}\)

E, usando no triângulo retângulo à esquerda, formado pela hipotenusa de tamanho R, cateto h e outro cateto d, temos:
\(R^2=h^2+d^2
R^2=\left(\dfrac{R\sqrt{15}}{4}\right)^2+d^2
R^2=\dfrac{15R^2}{16}+d^2
d^2=R^2-\dfrac{15R^2}{16}
d^2=\dfrac{R^2}{16}
d=\dfrac{R}{4}\)

Este tamanho, \(d=\dfrac{R}{4}\) é a altura de uma calota de raio \(2R\), que constitui o conjunto dos pontos da esfera cuja distância a P é igual a 2R.

Calota Esférica.gif (5.1 KiB) Visualizado 1412 vezes

Espero ter ajudado!