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Como posso demonstrar essa proposição geométrica?
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13316		 Página 1 de 1
Autor:  Rodrigues1964 [ 02 nov 2017, 18:45 ]
Título da Pergunta:  Como posso demonstrar essa proposição geométrica?  [resolvida]
"Se um plano é tangente a uma esfera, prove que ele é perpendicular ao
raio com extremidade no ponto de tangência."
Autor:  João P. Ferreira [ 02 nov 2017, 22:49 ]
Título da Pergunta:  Re: Como posso demonstrar essa proposição geométrica?
Qual a definição de reta tangente? É a reta que toca uma curva ou superfície sem cortá-la, compartilhando um único ponto com a curva.
Numa curva diferenciável como é o caso, há apenas uma reta tangente.

dica: imagine um corte na esfera que passe pelo seu centro, fica com um círculo. Tem apenas de demonstrar que a tangente ao perímetro desse círculo é perpendicular ao raio.
Autor:  Baltuilhe [ 02 nov 2017, 22:50 ]
Título da Pergunta:  Re: Como posso demonstrar essa proposição geométrica?
Boa noite!

Para resolver façamos o seguinte:

Considere uma esfera de centro O, raio R e um ponto A de sua superfície.
Chame de \(\alpha\) o plano que passa por A e é perpendicular ao raio R (OA).
Tomemos um ponto B do plano. Veja que AB e OA são perpendiculares entre si, pois B está contido no plano e este último (o plano \(\alpha\)) é perpendicular a OA.
Agora temos um triângulo, OAB, onde OA é um cateto, AB é outro cateto e OB é a hipotenusa. A medida da hipotenusa OB é maior que o cateto OA, sempre. Então, para qualquer ponto B tomado do plano,
a medida do segmento OB será maior do que o raio da esfera (OA). Concluímos que A é o único ponto, então, comum entre o plano e a esfera.
Provamos, portanto, que se um plano é perpendicular à extremidade de um raio da esfera, este plano é tangente à esfera.

Espero ter ajudado!
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