domínio da função inversa de seno

[caetanoct]

F(x) = arcsen [(x-1)/x]

[jorgeluis]

caetanoct,
\(f(x)=arcsen\left ( \frac{x-1}{x} \right ) \Leftrightarrow x=sen (f(x))\)
consequentemente,
\(f(x)\in \left [ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ] \Leftrightarrow x\in[-1,1]\)
como, o domínio da função \(arcsen(x)\) está no intervalo \([-1,1]\), então
\({-1} \leq \left ( \frac{x-1}{x} \right ) \leq {+1}\)
assim,
\(\left ( \frac{x-1}{x} \right ) \geq {-1}
x\geq \frac{1}{2}
e
\left ( \frac{x-1}{x} \right ) \leq {1}
x\geq {x-1}\)

Conclusão:
o domínio da função no intervalo \(\left [ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\) é:
\(\frac{1}{2}\leq x\leq 1\)

[PierreQuadrado]

Bom dia,

A resposta do Jorge é um pouco confusa e não chega à resposta correta... Apenas tem que lembrar que o o arcsin está bem definido sempre que o seu argumento esteja entre 0 e 1. Concretamente

\(D = \{x \in \mathbb{R}: x \ne 0, -1 \leq \frac{x-1}{x} \leq 1\}\)

Resolvendo as inequações, verá que \(D=[\frac 12, +\infty[\).

[PierreQuadrado]

Uma pequena correção... escrevei que o argumento do arcsin deveria estar entre 0 e 1 mas o correto é entre -1 e 1. Na expressão de D está correto.

[jorgeluis]

PierreQuadrado,
se o domínio do \(arcsen(x)\) está no intervalo \([-1,1]\), e as funções trigonométricas se verificam no círculo trigonométrico, ou seja, raio igual a \({\pm 1}\), como você pode dizer que o domínio da função é \([\frac{1}{2},+\infty [\)?

[PierreQuadrado]

Boa tarde Jorge,

Pode calcular o arcsin de qualquer número real compreendido entre -1 e 1. Assim, desde que \((x-1)/x\) esteja entre -1 e 1, é sempre possível calcular o seu arcsin. Veja bem, se x=1000 não consegue calcular \(arcsin ((1000-1)/1000)\)? O problema é se x<1/2... Se por exemplo tomar x = -1, teria que poder calcular arcsin(2), o que não é possível.