expressão envolvendo elementos e conceitos trigonométricos

[caetanoct]

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[Baltuilhe]

Boa noite!

Ao pensar em arcosseno procure o valor do ângulo cujo seno é o indicado. Pensando em um triângulo retângulo, temos a relação que o seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Com estes dois termos podemos calcular o cateto adjacente, certo?
Então:
\(\sin\alpha=\dfrac{CO}{H}=\dfrac{a-1}{a+1}\)

Então, chamando CO(cateto oposto) = a-1 e H(hipotenusa) = a+1 podemos achar o CA(cateto adjacente).
\(H^2=CO^2+CA^2
(a+1)^2=(a-1)^2+CA^2
a^2+2a+1=a^2-2a+1=CA^2
4a=CA^2
CA=2\sqrt{a}\)

Calculando agora a tangente deste ângulo:
\(\tan\alpha=\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{a-1}{2a}\\\alpha=\arctan\dfrac{a-1}{2a}\)

Finalmente:
\(\alpha=\arcsin\dfrac{a-1}{a+1}=\arctan\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}
\beta=\arctan\dfrac{1}{2\sqrt{a}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}{1-\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a-1+1}{2\sqrt{a}}}{1-\dfrac{a-1}{4a}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a}{2\sqrt{a}}}{\dfrac{4a-(a-1)}{4a}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{a}}{2a}}{\dfrac{3a+1}{4a}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{a\sqrt{a}}{\dfrac{3a+1}{2}}
\tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{2a\sqrt{a}}{3a+1}\)

Espero ter ajudado!