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expressão envolvendo elementos e conceitos trigonométricos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13595 |
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Autor: | caetanoct [ 29 jan 2018, 21:26 ] |
Título da Pergunta: | expressão envolvendo elementos e conceitos trigonométricos |
Anexo: arctgarcsen.png [ 32.14 KiB | Visualizado 1286 vezes ] |
Autor: | Baltuilhe [ 30 jan 2018, 01:52 ] |
Título da Pergunta: | Re: expressão envolvendo elementos e conceitos trigonométricos |
Boa noite! Ao pensar em arcosseno procure o valor do ângulo cujo seno é o indicado. Pensando em um triângulo retângulo, temos a relação que o seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Com estes dois termos podemos calcular o cateto adjacente, certo? Então: \(\sin\alpha=\dfrac{CO}{H}=\dfrac{a-1}{a+1}\) Então, chamando CO(cateto oposto) = a-1 e H(hipotenusa) = a+1 podemos achar o CA(cateto adjacente). \(H^2=CO^2+CA^2 (a+1)^2=(a-1)^2+CA^2 a^2+2a+1=a^2-2a+1=CA^2 4a=CA^2 CA=2\sqrt{a}\) Calculando agora a tangente deste ângulo: \(\tan\alpha=\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{a-1}{2a}\\\alpha=\arctan\dfrac{a-1}{2a}\) Finalmente: \(\alpha=\arcsin\dfrac{a-1}{a+1}=\arctan\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}} \beta=\arctan\dfrac{1}{2\sqrt{a}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}{1-\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{a}}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a-1+1}{2\sqrt{a}}}{1-\dfrac{a-1}{4a}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a}{2\sqrt{a}}}{\dfrac{4a-(a-1)}{4a}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{a}}{2a}}{\dfrac{3a+1}{4a}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{a\sqrt{a}}{\dfrac{3a+1}{2}} \tan\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{2a\sqrt{a}}{3a+1}\) Espero ter ajudado! |
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