No gráfico sabe-se que: CP=3; PG=4 e FP=1. Calcular PE.

[MariaDuarte1]

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No gráfico sabe-se que: CP=3; PG=4 e FP=1. Calcular PE.

[jorgeluis]

MariaDuarte1,
se,
\(\overline{OA} =\overline{OB} =\overline{OC} = \overline{OG} = {r} {(raio.da.circunferencia)}
\overline{CP} = {3}
\overline{GP} = {4}
\overline{PF} =\overline{OE} = {1}
\overline{PE} = \overline{OF} = {x}\)
então, podemos extrair 2 triângulos retangulos, cujas hipotenusas é o raio da circunferência. Assim,
em,
\(\Delta\overline{OCE}:
(\overline{OC})^2=(\overline{CE})^2+(\overline{OE})^2
(\overline{OC})^2=(\overline{CP}+\overline{PE})^2+(\overline{OE})^2
(r)^2=(3+x)^2+(1)^2
(r)^2=x^2+6x+10\)
e
\(\Delta\overline{OGF}:
(\overline{OG})^2=(\overline{GF})^2+(\overline{OF})^2
(\overline{OG})^2=(\overline{GP}+\overline{PF})^2+(\overline{OF})^2
(r)^2=(4+1)^2+(x)^2
(r)^2=25+x^2\)
logo,
\((x^2+6x+10)=(25+x^2)
6x=15
x=\frac{5}{2}\)

[MariaDuarte1]

obrigada

[Rui Carpentier]

Só uma pequena correção na resolução do jorgeluis. No enunciado, não é dito que \(\overline{OE}=\overline{PF}\) nem que \(\overline{OF}=\overline{PE}\). No entanto, o resultado final é o mesmo porque \(\overline{OE}^2=\overline{OP}^2-\overline{PF}^2\) e \(\overline{OF}^2=\overline{OP}^2-\overline{PE}^2\). Apresento a resolução do jorgeluis com as devidas correções:

MariaDuarte1,
se,
\(\overline{OA} =\overline{OB} =\overline{OC} = \overline{OG} = {r} {(raio.da.circunferencia)}
\overline{CP} = {3}
\overline{GP} = {4}
{\bf \overline{FP} = {1}
\overline{PE} = {x}
\overline{OP} = {y}
\overline{OE}^2 = {y}^2-{x}^2
\overline{OF}^2 = {y}^2-1 }\)
então, podemos extrair 2 triângulos retangulos, cujas hipotenusas é o raio da circunferência. Assim,
em,
\(\Delta\overline{OCE}:
(\overline{OC})^2=(\overline{CE})^2+(\overline{OE})^2
(\overline{OC})^2=(\overline{CP}+\overline{PE})^2+(\overline{OE})^2
(r)^2=(3+x)^2+{\bf y^2-x^2}
(r)^2={\bf 6x+9+y^2}\)
e
\(\Delta\overline{OGF}:
(\overline{OG})^2=(\overline{GF})^2+(\overline{OF})^2
(\overline{OG})^2=(\overline{GP}+\overline{PF})^2+(\overline{OF})^2
(r)^2=(4+1)^2+{\bf y^2-1}
(r)^2={\bf 24+y^2}\)
logo,
\({\bf 6x+9+y^2=24+y^2}
6x=15
x=\frac{5}{2}\)