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Relação entre angulos de circunferencias
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13628		 Página 1 de 1
Autor:  FBO [ 14 fev 2018, 19:07 ]
Título da Pergunta:  Relação entre angulos de circunferencias
Olá amigos.
Imagine que temos uma circunferência dentro de outra circunferência com centros deslocados. Se eu traçar um ângulo qualquer na circunferência interna, qual será o ângulo correspondente, na circunferência mais externa?
Para ajudar a visualizar o problema e a encontrar uma fórmula para a resolução, deixe-me propor valores:
A circunferência interna possui diâmetro 10mm.
A circunferência externa possui diâmetro 30mm.
A circunferência interna está com seu centro deslocado em 10mm, sobre o eixo X, em relação ao centro da circunferência mais externa.
Traçando um ângulo de 45º na circunferência interna, qual será o ângulo formado se projetar a reta dos 45º da circunferência interna na circunferência mais externa? (resposta: o ângulo projetado, segundo o software autocad, é de 73º mas como posso encontrar isso calculando? Quais as fórmulas? Não consigo encontrar :( )
Anexei uma imagem a respeito deste problema para ajudar a entender melhor do que se trata.
Muito obrigado.

Anexos:
ProblemaMatematica.png
ProblemaMatematica.png [ 24.26 KiB | Visualizado 2104 vezes ]
Autor:  Baltuilhe [ 14 fev 2018, 22:44 ]
Título da Pergunta:  Re: Relação entre angulos de circunferencias
Boa tarde!

Anexo:
Circunferências.png
Circunferências.png [ 122.53 KiB | Visualizado 2100 vezes ]


No triângulo formado pelos segmentos d, R e os ângulos internos \(\alpha\) e \(\theta-\alpha\) podemos usar lei dos senos:
\(\dfrac{R}{\sin\alpha}=\dfrac{d}{\sin\left(\theta-\alpha\right)}\)

Substituindo com os seus dados:
\(\alpha=45^{\circ}\\
R=15\\
d=10\)

Então:
\(\dfrac{15}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{10}{\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{10\sin 45^{\circ}}{15}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\\
\theta-45^{\circ}\approx 28,13^{\circ}\\
\theta\approx 28,13^{\circ}+45^{\circ}\\
\theta\approx 73,13^{\circ}\)

Blz?

Espero ter ajudado!
Autor:  FBO [ 15 fev 2018, 00:59 ]
Título da Pergunta:  Re: Relação entre angulos de circunferencias
Obrigado pela rápida resposta.
Só não entendi como √2/3 foi convertido pra 28.13º.
√2/3 = 0.471404.
Arcsin(0.471404) = 0.4908 que é muito diferente de 28.13º então não pode ter sido arcoseno...
0.471404 * 180 / PI (conversão de radiano pra graus dá 27.009, também diferente de 28.13º então também não é isso).
Por favor, como chegou a isso então?
Autor:  FBO [ 15 fev 2018, 01:10 ]
Título da Pergunta:  Re: Relação entre angulos de circunferencias
Talvez eu tenha entendido:
√2 / 3 = 0,47140452079103168293389624140323
arcsin(0,47140452079103168293389624140323) = 0,490882678289311
0.490882678289311 * 180 / ∏ (conversão de radianos pra graus) = 28,125505702055684973167345635794 que é, arredondando, 28,13º.
É isso mesmo?
Autor:  Baltuilhe [ 15 fev 2018, 01:16 ]
Título da Pergunta:  Re: Relação entre angulos de circunferencias
Boa noite!

Deixei a operação só para ficar um número mais 'bonitinho'.
Sua calculadora (ou onde está fazendo a conta), está retornando os valores em radianos, não em graus. Por isso está dando esses erros de 'arredondamento'.
É calculadora?

Sds.
Autor:  FBO [ 15 fev 2018, 13:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Relação entre angulos de circunferencias
Na verdade os testes dos cálculos fiz no delphi (programa pascal)...
Mas então os passos que descrevi estão corretos, é aquilo mesmo?
Mas cara vc matou a charada, era isso mesmo, verifiquei com alguns ângulos no autocad e sua fórmula dá certinho os valores! Parabéns
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