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MensagemEnviado: 21 mar 2018, 15:24 
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Em um triângulo ABC, a medida do ângulo C=120°, ab=24, a+b=12. Traça-se a bissetriz CF (F em AB).Calcular CF.
a)4
b)3
c)1,5
d)2
e)1


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MensagemEnviado: 07 mai 2018, 09:46 
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MensagemEnviado: 08 mai 2018, 14:04 
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Sugestão: siga os seguintes passos:
(1) Use as condições a+b=12 e ab=24 para determinar a e b.
Spoiler:
\(\{a,b\}=\{6-2\sqrt{3},6+2\sqrt{3}\}\)

(2) Prolongue a bissetriz CF até um ponto D fora do triângulo de modo que o triângulo ACD seja equilátero (veja a figura em anexo). Tal é possível pois o ângulo ACF é 60º.
(3) Demonstre que os triângulos AFD e BFC são semelhantes, logo CF está para FD como BC está para AD (que é igual a AC pois ACD é equilátero).
(4) Como AC e BC são conhecidos consegue-se dar FD em função de CF.
Spoiler:
\(FD=(2-\sqrt{3})CF\) assumindo que BC>AC

(5) Sendo ACD é equilátero, temos que CF+FD=AC. Como FD é dada em função de CF e AC é conhecida, tal equação permite determinar CF.
Spoiler:
CF=2


PS: No enunciado não é dito o que são a e b, mas calculo que a e b sejam os comprimentos dos lados opostos aos vértices A e B respetivamente. A minha resposta usa essa assunção.


Anexos:
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