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Volume de sólido gerado pela rotação de cubo
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13753		 Página 1 de 1
Autor:  euqueroperguntar [ 10 abr 2018, 23:45 ]
Título da Pergunta:  Volume de sólido gerado pela rotação de cubo
Esta pergunta surgiu na minha cabeça pela primeira vez há muitos anos. Na ocasião eu estava com um cubo mágico nas mãos, e segurei o cubo com dois dedos pelos vértices opostos e, com a outra mão, fiz o cubo girar. E então perguntei a mim mesmo: "Qual o volume do sólido gerado?". Peguei então papel e lápis e comecei a tentar resolver o problema, para logo perceber que não era um problema tão simples.

Depois de muitos anos, consegui esboçar uma solução e obter uma possível resposta. Porém durante minha solução, precisei realizar uma operação que eu considero uma aproximação, e não um cálculo exato.

O que eu quero saber é a resposta exata, e o caminho utilizado para chegar nela. Como nunca consegui encontrar a solução na internet, resolvi me registrar neste fórum para obter ajuda, e desde já agradeço por ela.

Segue a pergunta:

"Qual a expressão, em função de L, do volume do sólido gerado pela rotação de um cubo de lado L ao redor de sua diagonal principal?"
Autor:  euqueroperguntar [ 11 abr 2018, 01:09 ]
Título da Pergunta:  Re: Volume de sólido gerado pela rotação de cubo
Código:
cube =
GraphicsComplex[
{{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 1, 0}, {0, 1, 1}, {1, 0, 0}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {1, 1, 1}},
Polygon[{{1, 2, 4, 3}, {5, 6, 8, 7}, {1, 2, 6, 5}, {3, 4, 8, 7}, {1, 3, 7, 5}, {2, 4, 8, 6}}]
];

envelope[t_] := If[t < 1, t, If[t < 2, Sqrt[(2 t - 3)^2 + 3]/2, 3 - t]]

lozenge =
Rotate[
RevolutionPlot3D[{Sqrt[2/3] envelope[t], t/Sqrt[3]}, {t, 0, 3}, MaxRecursion -> 5][[1]],
{{0, 0, 1}, {1, 1, 1}}];

enveloped =
Table[
Graphics3D[{Rotate[cube, x, {1, 1, 1}, {0, 0, 0}],  Opacity[1/2], lozenge},
ViewVector -> {3, 1/2, -2}, ViewAngle -> 30 Degree, ViewCenter -> {1/2, 1/2, 1/2},
ViewVertical -> {1, 1, 1}, Boxed -> False, ImageSize -> 300],
{x, 0, 2 Pi/3 - Pi/48, Pi/24}];

Export["enveloped.gif", enveloped, "GraphicsList", "DisplayDurations" -> {.05}]
Autor:  Rui Carpentier [ 12 abr 2018, 17:51 ]
Título da Pergunta:  Re: Volume de sólido gerado pela rotação de cubo
Ora aí está um problema interessante de cálculo infinitesimal/ análise matemática. Não sendo fáci também não é extrodinariamente difícil.
Tratando-se de um sólido de revolução cada corte perpendicular ao eixo de rotação é um círculo. Portanto o que há a fazer é determinar o raio r(p) de cada círculo em função do ponto p, da diagonal de rotação do cubo, onde é feito o corte. Depois é só calcular a integral \(\int \pi r^2(p)||dp||\).
Comecemos por considerar, sem perda de generalidade, que o cubo tem vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,1) e que a diagonal de rotação liga (0,0,0) a (1,1,1). Não é difícil verificar os seguintes factos:
(1) A superfície do sólido de revolução obtido pode ser obtida pela revolução do caminho de três arestas do cubo que passam pelos vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (1,1,1).
(2) Um plano perpendicular à diagonal de rotação tem equação \(x+y+z=constante\). Assim sendo, plano perpendicular à tal diagonal que passe no ponto \((x,y,z)\) corta a diagonal no ponto \(\left(\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3}\right)\).
O caminho citado no facto (1) pode ser parametrizado por \(t\mapsto \gamma(t)\) com \(t\in [0,3]\), \(\gamma(t)=(t,0,0)\) se \(0\le t\le 1\), \(\gamma(t)=(1,t-1,0)\) se \(1\le t\le 2\) e \(\gamma(t)=(1,1,t-2)\) se \(2\le t\le 3\). Para cada \(t\) a projeção de \(\gamma(t)\) na diagonal será \(p(\gamma(t))=\left(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3}\right)\) (usando o facto (2)). O o quadrado do raio do círculo de revolução para \(t\) é dado, pelo teorema de Pitágoras, por \(r^2(t)=||\gamma(t)||^2-||p(\gamma(t))||^2\).
Fazendo as contas (exercício), temos que \(r^2(t)=\frac{2t^2}{3}\) se \(0\le t\le 1\), \(r^2(t)=\frac{2t^2}{3}-2t+2\) se \(1\le t\le 2\) e \(r^2(t)=\frac{2(3-t)^2}{3}\) se \(2\le t\le 3\).
Portanto, e tendo em conta que \(p(\gamma(t))=\left(\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3}\right)\Rightarrow ||dp(gamma(t))||=\frac{\sqrt{3}dt}{3}\), o volume será \(\int_0^1\pi \frac{2\sqrt{3}t^2dt}{9} +\int_1^2\pi \frac{(2t^2-6t+6)\sqrt{3}dt}{9}+\int_2^3\pi \frac{2\sqrt{3}(3-t)^2dt}{9}\) o que dá \(\frac{\pi\sqrt{3}}{3}\) (exercício).

PS: Como observação extra, refiro que o sólido de revolução obtido é o interior dum hiperboloide ou superfície regrada ensanduichado por dois cones com vértices em posições opostas.
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