Inequação e equação em trigonometria + soma.

[EloizaAS]

Olá preciso de ajuda para resolver:

1.) Resolva a inequação sen2x ≥ ¼ com 0 ≤ x ≤ 2 π (sugestão faça t = senx e resolva t² ≥ ¼ ).

2.) Resolva a equação 2 cos² x – senx – 1 = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

3.) Calcule o valor da soma , lembrando que ∑_(n=1)^20.241▒i^n , lembrando que i² = - 1.

Aguardo. Grata.

Eloiza

[Rui Carpentier]

1) \(\mbox{sen}^2 x\ge 1/4 \Leftrightarrow \mbox{sen}x\ge 1/2 \vee \mbox{sen}x \le -1/2 \Leftrightarrow \frac{\pi}{6}\le x\le \frac{5\pi}{6} \vee \frac{7\pi}{6}\le x\le \frac{11\pi}{6}\).

2) Sugestão: faça \(t=\mbox{sen}x\): \(2\cos^2x -\mbox{sen}x -1=0 \Leftrightarrow 2t^2-t-1=0 \Leftrightarrow t=\mbox{sen}x=-1 \vee t=\mbox{sen}x=1/2 \Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{2} \vee x=\frac{\pi}{6}\vee x=\frac{5\pi}{6}\).

3) Note que \(i^n\) tem periodicidade 4 e que a soma de quatro termos sucessivos de \(i^n\) dá zero: \(i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7+\cdots =(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+\cdots\). Como 20240 é múltiplo de 4 os primeiros 20240 termos da soma \(\sum_{n=1}^{20241}i^n\) anulam-se. Portanto, \(\sum_{n=1}^{20241}i^n =i^{20241}=i^{20240}i^{1}=1\times i=i\).

PS- editado para corrigir o índice no somatório.

[PierreQuadrado]

Apenas um reparo à resposta do Rui: na última linha o índice da soma deve ser n e não i.

[Rui Carpentier]

Apenas um reparo à resposta do Rui: na última linha o índice da soma deve ser n e não i.

Obrigado pelo reparo. Já editei a mensagem anterior de modo a corrigir esse erro.