Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite!

Preciso ajudar um irmão com a automatização de uma máquina que perfura placas para colocação de componentes eletrônicos. A máquina contém uma base quadrada onde se coloca a placa a ser perfurada. Vamos considerar a base quadrada como sendo um plano cartesiano com as extremidades nos pontos A(0,0), B(100,0), C(100,100) e D(0,100), mensuradas em centímetros. Não encontrei pergunta semelhante já publicada...

A ideia dele é construir um algoritmo que permita à máquina calcular a localização exata de dois pontos quaisquer da placa e, a partir da localização destes, o algoritmo calcularia a localização de tantos outros pontos a serem perfurados e faria a perfuração de forma automatizada. Pois bem, suponhamos que a perfuração vá demorar mais de um dia. Ora, a placa precisará ser fixada a cada dia para continuar as perfurações. Suponhamos que, num desses dias, a placa não tenha sido fixada precisamente no mesmo local onde foi fixada no dia anterior. Isto provocaria um desastre na placa! Por outro lado, seria maçante o operador da máquina ter de assegurar-se de que a placa foi fixada sempre na mesma posição...

Assim, independentemente da posição de fixação da placa na base em cada dia, um algoritmo eficiente faria os cálculos e "saberia" onde continuar a perfurar.

Penso que a solução precisa considerar que a nova posição da placa sobre a base, nos dias seguintes, pode ser outra, não apenas horizontalmente ou verticalmente, mas também pode haver alguma inclinação, o que implica que a solução deva ser preparada para lidar com distâncias entre pontos e ângulos (creio eu... sei lá!). Tentei representar esta situação em figuras.

Trocando em linguagem matemática, a partir das figuras, que fórmula seria capaz de calcular as coordenadas dos pontos X₀, X₁, Y₀ e Y₁ na base da máquina (o plano cartesiano de 100cm x 100cm) em cada dia, para dar continuidade às perfurações?

Aguardo suas valiosas contribuições!

Boa noite!

Ninguém tem alguma ideia de como ajudar?

Para já, vou só abordar parte do problema. Vou deixar por resolver o problema de calcular as coordenadas dos vértices da placa, mas vou apresentar uma possível abordagem para, uma vez calculadas as coordenadas dos vértices, calcular as coordenadas de qualquer outro ponto da placa (sabendo as suas coordenadas numa posição padrão). Sejam \(a\) e \(c\) as dimensões da placa (altura e comprimento). Consideremos como posição padrão a posição em que os vértices da placa são (0,0), (c,0), (0,a) e (c,a). Seja (x,y) as coordenadas de um ponto P da placa nessa posição. Se soubermos as coordenadas dos vértices da placa numa nova posição: \((0,0)\mapsto (x_1,y_1)\), \((c,0)\mapsto (x_2,y_2)\), \((0,a)\mapsto (x_3,y_3)\) e \((c,a)\mapsto (x_4,y_4)\) então conseguimos determinar as coordernadas de P na nova posição (\((x,y)\mapsto (x',y')\)) à custa de \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) e \((x_3,y_3)\) (\((x_4,y_4)\) não é necessário). Isto porque uma deslocação da placa é uma transformação afim e portanto a imagem de uma combinação afim de pontos é a combinação afim da imagem desses pontos com os mesmos coeficientes. Ou seja, como \((x,y)=\frac{x}{c}(c,0)+\frac{y}{a}(0,a)+\left(1-\frac{x}{c}-\frac{y}{a}\right)(0,0)\) temos que \((x',y')=\frac{x}{c}(x_2,y_2)+\frac{y}{a}(x_3,y_3)+\left(1-\frac{x}{c}-\frac{y}{a}\right)(x_1,y_1)\).
Creio que este é o método computacionalmente mais simples de determinar (x',y') em função de (x,y), mas exige o conhecimento extra das coordenadas em três pontos base. No entanto, para determinar a transformação euclidiana que define o deslocamento da placa basta conhecer as coordenadas de apenas dois pontos base, mas os cálculos tornam-se bastante mais complicados (não creio que compense).
Quanto ao problema de determinar as coordenadas dos vértices da placa já é um problema mais interdisciplinar com várias possíveis abordagens. Talvez um sensor óptico que faça varrimentos horizontais e verticais em umas quantas retas pré-definidas de modo a determinar as coordenadas onde começa e onde acabe a placa. Sabendo as coordenadas de alguns pontos fronteiros, podemos, em teoria, determinar as equações das retas definidas pelos lados da placa e os vértices da placa serão os pontos e interseção dessas retas. Mas terei de pensar um pouco mais no assunto.

Boa noite, Rui Carpentier!

A princípio, vou verificar com meu irmão a possibilidade de alguns sensores ópticos detectarem pontos fronteiriços da placa, conforme você sugere, que levariam à descoberta das coordenadas dos vértices (no caso, três vértices), o que eu compreendi ser pré-requisito para o uso da fórmula de transformação afim que você sugere.

Quando meu irmão descreveu o problema para mim, ele mencionou apenas dois pontos a serem envolvidos na solução, mas pelo que vi em sua resposta, os cálculos de uma transformação euclidiana seriam por demais extensos.

Muito obrigado por sua contribuição! Eu discutirei tudo isso com ele e atualizarei o tópico assim que tiver uma definição... ou novas perguntas.