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| Area de triangulo equilatero em multiplas circunferencias https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=13884 |
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| Autor: | alecsandria [ 22 jun 2018, 23:35 ] |
| Título da Pergunta: | Area de triangulo equilatero em multiplas circunferencias |
Na figura, os pontos A, B, C, D, E, F e G são centros das circunferências dadas, todas de mesmo raio. R = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GB. https://13pic.obmep.org.br/uploads/atividades/victor%20neumann/88/arq-01.png Observe também que os pontos B,C,D,E,F,G se encontram sobre a circunferência de centro A e raio R. Na fiigura há uma região sombreada mais escura de área Γ e uma região sombreada mais clara de área Ω. Calcule Ω e Γ em função de R. (Dica: Use que a área de um triângulo equilátero de lado L é igual a \(\dfrac{\sqrt3}{4} L^2\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 jun 2018, 14:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Area de triangulo equilatero em multiplas circunferencias |
Cada uma das três folhas da região mais escura é a diferença de dois sexto de círculo por dois triângulos equiláteros, logo \(\Gamma =3\left(\frac{2}{6}\pi R^2- \frac{2\sqrt{3}}{4}R^2\right)=\left(\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)R^2\). A área dos três círculos é igual à área da região clara mais o dobro da área da região mais escura (onde há uma dupla sobreposição de círculos), \(\Omega =3\pi R^2 - 2\Gamma =(\pi+3\sqrt{3})R^2\). |
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