Tangente entre concavidades de uma função

[MaoMorta]

Bom dia,

gostaria de saber o procedimento para encontrar a equação tangente às duas concavidades existentes na f(x) = (x-1)(x-2)(x-2.9)(x-4)? Obrigado

[Rui Carpentier]

Se percebi bem, pretende determinar a equação da bitangente ao gráfico de \(y=(x-1)(x-3)(x-2.9)(x-4)\). Nesse caso é notar que se subtrairmos a função quártica pela função cujo gráfico é a reta bitangente obtemos uma função quártica não-negativa com dois zeros duplos.
Portanto, queremos encontrar a equação duma reta \(y=mx+d\) tal que \((x-1)(x-3)(x-2.9)(x-4)-mx-d = \lambda (x-a)^2(x-b)^2\) para algum \(\lambda >0\) e \(a,b\in \mathbb{R}\) distintos. Pelo quoficente de quatro grau é fácil ver que \(\lambda = 1\). Para determinar as restantes variáveis (em particular m e d que são as que definem a reta bitangente) aconselho a seguir o seguite procedimento. Primeiro derive duas vezes os polinómios de ambos os lados da equação de modo a eliminar as variáveis m e d. Comparando os coeficientes dos polinómios de ambos os lados da igualdade obtida obtem-se duas equações de segundo grau em função de a e b, que peritem determinar estas variáveis. Depois de determinar a e b é fácil determina m e d, basta substituir na primeira equação o x por dois valores distintos (por exemplo x=0 e x=1). Ou então, lembre-se que \(y=mx+d\) é tangente a f nos pontos a e b: \(mx+d=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(b)(x-b)+f(b)\).

[MaoMorta]

Soberbo, deu-me y = -0.102413X - 0.7977, mesmo à tangente!

Obrigado pela ajuda. Até sempre.