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MensagemEnviado: 24 abr 2019, 15:51 
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(CMS 2007)Cinco pontos estão sobre os lados de um quadrado ABCD de 4cm de lado. Quando listamos as dez distâncias em centímetros entre dois desses pontos, da menor para a maior, encontramos 1, 1, 1, 2, 2, 3, √17, k, 5 e 4√2 . Se um dos pontos é o vértice A, o valor de k é:


R: 2√5 cm


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MensagemEnviado: 04 mai 2019, 21:56 
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Sendo 4√2 o comprimento de uma diagonal de um quadrado de lado 4, e estando esse valor na lista, temos que dois dos pontos (vamos designá-los por A e B) estão em vértices opostos do quadrado. Estandos os restantes três pontos, C, D e E, nos lados do quadrado, temos que cada um desses pontos distará um valor maior que 4 a um dos pontos A ou B. Logo, as distâncias √17, k e 5 vão corresponder as distâncias entre cada um desses três pontos e os pontos A e B. Sem perda de generalidade podemos supor que A e C distam √17 centímetros. Então C e B distam 3 centímetros e estão no mesmo lado do quadrado. Um dos pontos D ou E (sem perda de generalidade podemos supor que é D) está a uma distância 5 de A ou B. Há quatro hipotéticos lugares para D mas três deles distam de C um valor inválido: 4 ou √10. Restando apenas o lugar que fica entre B e C (distando 1 de B e 2 de C). O ponto que resta, E, distará aos outros quatros pontos as distâncias que sobram 1, 1, 2 e k. A única possibilidade é E estar entre D e C (distando 1 de cada) e a uma distância √20=2√5 de A e 2 de B. Logo k=2√5.


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