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| Questão sobre trigonometria - sema de arcos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=1598 |
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| Autor: | edjr [ 19 jan 2013, 12:55 ] |
| Título da Pergunta: | Questão sobre trigonometria - sema de arcos |
Se \(sen \, x + sen \, y = \frac{1}{2}\) e \(cos \, x + cos \, y = \frac{3}{4}\) Determine \(13 \cdot cos \, (x + y)\). |
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| Autor: | Sobolev [ 21 jan 2013, 10:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Questão sobre trigonometria - sema de arcos |
Aqui vai uma possibilidade ( deve haver uma forma mais elegante, mas esta funciona ... ). Sabemos que: 1. \(\sin x + \sin y = 2 \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\) 2. \(\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\) 3. \(1+\tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}\) 4. \(\cos(x+y) = 2 \cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)-1\) Usando as igualdades (1), (2) juntamente com os dados do problema obtemos \(\tan\left( \frac{x+y}{2}\right) = \frac{2}{3}.\) Usando agora (3) ficamos com \(\cos^2\left(\frac{x+y}{2} \right) = \frac{9}{13}.\) Finalmente, usando (4), teremos que \(13 \cos(x+y) = 13 (2 \cos^2\left( \frac{x+y}{2}\right) -1) = 13 (2 \times 9/13 -1) =5\). |
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