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| menor distância de um ponto aos vértices de um quadrilátero https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=1868 |
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| Autor: | Walter R [ 24 fev 2013, 02:26 ] |
| Título da Pergunta: | menor distância de um ponto aos vértices de um quadrilátero [resolvida] |
Dado um quadrilátero convexo qualquer ABCD, encontre o ponto X tal que a distância AX+BX+CX+DX seja a menor possível. Obs> parece-me que este ponto seria o ponto O resultante do cruzamento das diagonais, mas não consegui prová-lo. De qualquer forma, sei que é possível provar a hipótese, apenas utilizando-se dos teoremas e axiomas da geometria euclidiana. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 27 fev 2013, 18:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: menor distância de um ponto aos vértices de um quadrilát |
Pode ser demonstrado usando a desigualdade triangular: \(|AX|+|CX|\geq |AC|\) e \(|BX|+|DX|\geq |BD|\). Logo a soma das distâncias de X a A, B, C e D é maior ou igual que a soma dos comprimentos das diagonais (i.e. \(|AX|+|BX|+|CX|+|DX|\geq |AC|+|BD|\)), sendo uma igualdade se X for colinear a A e C e a B e D (ou seja, se X for a intersecção das diagonais). |
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