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Um triângulo está em um semiplano em relação a uma reta. Demonstre que a distância entre esta reta e o ponto de intersecção das medianas do triângulo é a média aritmética das distâncias entre os vértices do triângulo e esta reta.

Olá tudo bem!

Eu coloquei o problema numa espécie de plano cartesiano.

A reta considerada é a vermelha e as pretas são as distancias.

Então eu fiz: x = \(\frac{2(x-z)+a}{3}\) --> x = a - 2z

Obs: Lembrando da propriedade das medianas, sabemos que o lado maior da mediana é duas vezes o lado menor!

Com isso fica provado.
Espero ter ajudado!