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seja c a circunferência de equação x² + y² - 8x - 16y + 35 = 0, representada no plano cartesiano ortogonal. Sabendo-se que a reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e o centro C da circunferência intercepta a circunferência nos pontos P (mais próximo da origem) e Q (mais distante da origem), então a distância da origem ao ponto P é

desde já agradeço

A eq. da circunferencia pode ser reescrita como

\((x-4)^2+(y-8)^2 = 45\)

pelo que o centro da circunferência será C = (4 , 8). Se o ponto P está na recta que une (0,0) e (4 , 8), esse ponto está sobre a recta y = 2x. Substituindo na equação inicial,

\(x^2+(2x)^2 -8x-16 (2x) +35 = 0\Leftrightarrow
5x^2-40x+35 = 0 \Leftrightarrow
x = 1 \vee x = 7\)


Temos finalmente que P = (1, 2). [ e também que Q = (7 , 14) ]

Muito obrigado!
fjsmat