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Trigonometria https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=2018 |
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Autor: | Kapizany [ 15 mar 2013, 02:11 ] |
Título da Pergunta: | Trigonometria |
Ae pessoal será q alguém pode me ajudar nessa questão ta bem complicada, Supondo que Sec x + Tg x=22/7 e que Cossec x + Cotg x=m/n, com m e n primos entre si, o valor de m+n é: a)40 b)42 c)44 d)46 e)48 A resposta é a letra c, Obrigado! |
Autor: | danjr5 [ 01 dez 2013, 08:38 ] |
Título da Pergunta: | Re: Trigonometria |
Condição I: \(\sec x + \tan x = \frac{22}{7}\) \(\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{22}{7}\) \(\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{22}{7}\) \(\left ( \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right )^2 = \left ( \frac{22}{7} \right )^2\) \(\frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} = \frac{484}{49}\) \(\frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{484}{49}\) \(\frac{(1 + \sin x)^2}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{484}{49}\) \(\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} = \frac{484}{49}\) \(49 + 49 \cdot \sin x = 484 - 484 \cdot \sin x\) \(533 \cdot \sin x = 435\) \(\fbox{\sin x = \frac{435}{533}}\) Condição II: \(cossec \ x + cotan \ x = \frac{m}{n}\) \(\frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{m}{n}\) \(\frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{m}{n}\) \(\left ( \frac{1 + \cos x}{\sin x} \right )^2 = \left ( \frac{m}{n} \right )^2\) \(\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{m^2}{n^2}\) Da terceira linha da condição I temos que: \(\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{22}{7}\) \(22 \cdot \cos x = 7 + 7 \cdot \sin x\) \(22 \cdot \cos x = 7 + 7 \cdot \frac{435}{533}\) \(533 \cdot 22 \cdot \cos x = 7 \cdot 533 + 7 \cdot 435\) \(533 \cdot 22 \cdot \cos x = 6776 \;\; \div (22\) \(533 \cdot \cos x = 308\) \(\fbox{\cos x = \frac{308}{533}}\) Agora podemos prosseguir com a condição II: \(\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\frac{1 + \frac{308}{533}}{1 - \frac{308}{533}} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\frac{m^2}{n^2} = \frac{\frac{533 + 308}{533}}{\frac{533 - 308}{533}}\) \(\frac{m^2}{n^2} = \frac{841}{533} \div \frac{225}{533}\) \(\frac{m^2}{n^2} = \frac{841}{533} \times \frac{533}{225}\) \(\left ( \frac{m}{n} \right )^2 = \frac{841}{225}\) \(\frac{m}{n} = \sqrt{\frac{841}{225}}\) \(\frac{m}{n} = \frac{29}{15}\) \(m + n = 29 + 15\) \(\fbox{\fbox{m + n = 44}}\) |
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