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| Piramide https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=2068 |
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| Autor: | andreluis-gsa [ 21 mar 2013, 20:33 ] |
| Título da Pergunta: | Piramide |
Considere um prisma cuja base é um hexágono regular de lado l, e uma piramide cuja base é um triangulo equilatero com lados medindo o triplo d l. Se o volume do prisma é o dobro do volume da piramide, a altura da piramide é? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 mar 2013, 18:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Piramide |
O volume de um prisma com base hexagonal regular de lado \(l\) e altura \(h_1\) é dado por \(V_1=b_H\times h_1\) onde \(b_H\) é a área do hexágono regular de lado \(l\). O volume de uma pirâmide com base triângular regular de lado \(3l\) e altura \(h_3\) é dado por \(V_2=\frac{1}{3}\times b_T\times h_2\) onde \(b_T\) é a área do triângulo equilátero de lado \(3l\). Como um hexágono regular de lado \(l\) se pode decompor em 6 triângulos equiláteros de lado \(l\), temos que \(b_H=6t\) definindo \(t\) como sendo a área de um triângulo equilátero de lado \(l\). Por outro lado é fácil ver que \(b_T=9t\). Assim sendo, \(V_1\) é o dobro de \(V_2\) se e só se \(6\times t\times h_1=2\times\frac{1}{3}\times 9\times t\times h_2\) donde se tira que \(h_1=h_2\). |
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