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nesta ordem uma progressão aritmética de soma 6pi. Calcule a área total desse cilindro.

Vamos ver se consigo resolver.

Como é uma progressão aritmética e a ordem dos elementos é

\(\pi\),h, r

e sendo a soma de uma progressão aritmética

\(S = n \times \frac{a_1+a_n}{2}\)

e sendo dado que a soma vale 6\(\pi\) e havendo 3 elementos,

\(6\pi =3 \times \frac{\pi + r}{2}\)

Assim, podemos dizer que

\(2\pi =\frac{\pi + r}{2}\)

e

\(4\pi - \pi = r = 3\pi\)

Assim, nossa progressão poderá ser reescrita, já que descobrimos o valor de 'r' como sendo \(3\pi\):

\(\pi,h, 3\pi\)

A razão desta progressão podemos encontrar dividindo por 2 dois a diferença entre dois elementos quaisquer que contenham apenas um elemento entre eles.

Como \(\pi\) é seguido do 'h', que é seguido do \(3\pi\), então a razão é

\(razao = \frac{3\pi - \pi}{2}\)

Podemos afirmar que a razão é

\(razao = \frac{2\pi}{2} = \pi\)

Se a progressão tem \(\pi\) como razão, então o segundo elemento é o \(primeiro + \pi\):

\(h = \pi + \pi = 2\pi\)

Podemos agora escrever a progressão inteiramente em \(\pi\):

\(\pi,2\pi,\3\pi\) que representa \(\pi,h,r\) no problema.

Com efeito, a soma da progressão foi dada como \(6\pi\), o que confirma a soma das parcelas acima.

Como a área do cilindro compreende a área da base e a área lateral, deverá ser uma soma.

Área da base: \(A_B = \pi \times r^2\)
Área lateral:\(A_L = 2 \pi \times r \times h\)

e

Área do cilindro: \(A_C = 2 \times A_B + A_L\)
(Considerando que o cilindro tem tampa em cima e em baixo, por isto \(2 \times A_B\)).

Assim,

\(A_C = 2 \times [\pi \times (3 \pi)^2]+2 \pi \times [3 \pi ]\times [2 \pi]\)

Algebrismo:

\(A_C = 2 \times(9 {\pi^3} )+ 12 \pi^3\)

Fazendo \(\pi\) valer 3,1415, teremos


\(A_C = 2 \times 279,03 + 372,04 = 930,10\)


Confesso que não tenho certeza. É bom que outra pessoa confira.

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"