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Um ponto O está dentro de um triangulo equilátero ABC, sabendo as medidas de OA, OB e OC, como faço para calcular o lado do triângulo?

Pela lei dos cossenos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_cossenos

Fica com três equações e lembre-se que a soma dos ângulos em torno do ponto \(O\) é \(\alpha+\beta+\gamma=360^0\)

\(l^2=\overline{BO}^2+\overline{CO}^2-2\overline{BO}\overline{CO}cos (\alpha)\)
\(l^2=\overline{BO}^2+\overline{AO}^2-2\overline{BO}\overline{AO}cos (\gamma)\)
\(l^2=\overline{AO}^2+\overline{CO}^2-2\overline{AO}\overline{CO}cos (\beta)\)
\(\alpha+\beta+\gamma=2\pi\)

então, igualando \(l^2\) nas duas primeiras equações

\(\overline{BO}^2+\overline{CO}^2-2\overline{BO}\overline{CO}cos (\alpha)=\overline{BO}^2+\overline{AO}^2-2\overline{BO}\overline{AO}cos (\gamma)\)

\(\overline{CO}^2-2\overline{BO}\overline{CO}cos (\alpha)=\overline{AO}^2-2\overline{BO}\overline{AO}cos (\gamma)\)

\(2\overline{BO}\overline{CO}cos (\alpha)=\overline{CO}^2-\overline{AO}^2+2\overline{BO}\overline{AO}cos (\gamma)\)

\(cos (\alpha)=\frac{\overline{CO}^2-\overline{AO}^2}{2\overline{BO}\overline{CO}}+\frac{\overline{AO}}{\overline{CO}}cos (\gamma)\)

fica com uma relação entre os cosseno...

pode haver outra forma, mas confesso que não estou a ver...

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João Pimentel Ferreira
 
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