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Boa noite a todos, esta é minha primeira pergunta aqui, já pesquisei bastante e consegui fazer uma parecida com
essa mas que no caso eu tinha também o perímetro do triângulo, esta eu não consegui resolver e fiquei muito
frustrado, espero uma ajuda para saber resolver esta questão:

Dado o triângulo retângulo, determine as dimensões do mesmo , sabendo que os lados estão em PA e a área do mesmo é 54cm²

Note que se os lados estão em progressão aritmética, então os catetos são \(x, x+r\) e a hipotenusa é \(x+2r\).
Aplicando Pitágoras:\((x+2r)^2=(x+r)^2+x^2\). Desenvolvendo e simplificando, você chegará à equação \(x^2-2rx-3r^2=0\). Pela fórmula de Báskara, você obtém que as raízes desta equação são \(3r\) e \(-r\). Despreze o valor negativo, pois estamos trabalhando com medidas de segmentos, que devem ser maior ou igual a zero. Então temos que os lados do triângulo medem \(3r, 4r\) e \(5r\). Sabemos que a área mede 54, logo, \(54=\frac{3r.4r}{2}\). Resolvendo esta equação você encontra \(r=3\). Logo, os lados do triângulo medem \(9, 12\) e \(15\).