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| Ajuda - Medida dos Catetos em um Triangulo Retangulo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3018 |
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| Autor: | Lorang [ 02 jul 2013, 22:10 ] |
| Título da Pergunta: | Ajuda - Medida dos Catetos em um Triangulo Retangulo |
Olá a Todos!! Por favor, alguém me ajude com a seguinte questão: ""Em um triangulo retângulo a hipotenusa mede 40m e a altura relativa a esta mede 19,2m. Calcule as medidas dos catetos."" Eu sei que o produto da multiplicação das medidas dos catetos é igual ao produto da multiplicação do valor da hipotenusa pelo valor da altura relativa a esta (40 X 19,2), mas eu não estou conseguindo encontrar as medidas dos catetos de jeito nenhum. Obrigado pela atenção!!! |
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| Autor: | lucasmb254 [ 03 jul 2013, 01:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ajuda - Medida dos Catetos em um Triangulo Retangulo |
mensagem com erro |
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| Autor: | Mauro [ 03 jul 2013, 12:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ajuda - Medida dos Catetos em um Triangulo Retangulo |
Lorang Escreveu: Olá a Todos!! Por favor, alguém me ajude com a seguinte questão: ""Em um triangulo retângulo a hipotenusa mede 40m e a altura relativa a esta mede 19,2m. Calcule as medidas dos catetos."" Eu sei que o produto da multiplicação das medidas dos catetos é igual ao produto da multiplicação do valor da hipotenusa pelo valor da altura relativa a esta (40 X 19,2), mas eu não estou conseguindo encontrar as medidas dos catetos de jeito nenhum. Obrigado pela atenção!!! Caro Lorang, não sei se esta é a melhor abordagem, mas vamos lá. No triângulo original, chamaremos por 'a' ao cateto maior e por 'b' ao cateto menor. À hipotenusa chamaremos 'c'. A altura relativa à hipotenusa chamaremos 'h'. A altura relativa 'h' divide o triângulo original em dois outros. Um deles terá como um dos seus catetos parte da hipotenusa 'c' do triângulo original. Vamos dar a letra 'm' para este cateto. O outro cateto terá o mesmo valor 'h', o da altura relativa. A hipotenusa deste triângulo será o valor do lado 'b' do triângulo original. O outro triângulo saído do original terá como hipotenusa o lado 'a' do próprio triângulo original. A altura relativa 'h' dará a medida do comprimento de um seu cateto. O outro cateto será parte da hipotenusa 'c' original, e o chamaremos por 'n'. Feito o cenário, por semelhança de triângulos, teremos: \(a^2=nc\) \(b^2 = mc\) \(h^2 = mn\) Sabemos que h=19,2m c=40m Como sabemos que \(m+n=40\) vem que \(m=40-n\) Tomando \(h^2=mn\) temos que \((19,2)^2=(40-n)n\) Logo \(368,64=40n-n^2\) ou \(n^2-40n+368,64 = 0\) Por Báscara \(\begin{cases} & n_1=25,60 \\ & n_2= 14,40 \end{cases}\) Qual dos valores escolher? Deixemos de lado por enquanto. Vamos calcular o valor de 'm'. \(m=40-n\) \(m =\begin{cases} 14,40, \text {para n=25,60} \\ 25,60, \text {para n=14,40} \end{cases}\) Ou seja, os valores das raízes 'n' também são os valores de 'm' alternados. Compreende-se que isto decorre do perfeito ajuste dos triângulos oriundos da divisão causada pela altura-relativa no original. Então vamos arbitrar \(n=25,60\) e \(m=14,40\) Tendo 'm' e 'n', poderemos calcular o cateto 'a' e o cateto 'b' do triângulo original. \(a^2 = nc\) e \(b^2 = mc\) Ou seja, \(\fbox{a=\sqrt{25,60 \times 40m}=32m}\) e \(\fbox{b=\sqrt{14,40 \times 40m}=24m}\) Tirando a prova por Pitágoras: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) \(c=\sqrt{32^2+24^2}\) \(c=\sqrt{1600}=40\) Você pode ver um exemplo de onde tirei a ideia para resolver isto no Youtube . Abração Mauro |
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| Autor: | Lorang [ 11 jul 2013, 21:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ajuda - Medida dos Catetos em um Triangulo Retangulo |
Olá Mauro!! Muitíssimo Obrigado pela sua ajuda e me perdoe pela demora em responder. A questão era para o meu filho que está no 9º ano do Ensino Fundamental. Eu estava fazendo de uma forma que estava dando uma equação do 4º. Grau para ser resolvida. Mais uma vez obrigado!! Lorang |
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