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Abscissa em ponto de intersecção https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3074 |
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Autor: | rafaelgtmbin [ 08 jul 2013, 20:02 ] |
Título da Pergunta: | Abscissa em ponto de intersecção |
Questão nº 1 da prova da EsPCEx de 2012: Citar: Considere a circunferência \(\left ( \lambda \right ) x^2+y^2-4x=0\) e o ponto P \(\left (1, \sqrt{3} \right )\). Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é: Resposta: -2 Como chegou a isso? |
Autor: | danjr5 [ 09 jul 2013, 01:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Abscissa em ponto de intersecção |
Rafael, completemos quadrado... \(\\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \\ (x^2 - 4x) + y^2 = 0 \\ (x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0 \\ \fbox{(x - 2)^2 + y^2 = 4}\) Devemos encontrar a equação da reta \(t\). Determinamos a equação da reta que passa pelo ponto \(P\) aplicando a seguinte fórmula: \(y - y_o = m(x - x_o)\). \(\\ y - y_o = m(x - x_o) \\ y - \sqrt{3} = m(x - 1) \\ y = \sqrt{3} + mx - m\) Sabemos que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale \(- 1\), então: \(m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1\) Encontramos \(m_{PC}\) fazendo... \(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\) Agora, \(\\ m_{PC} \cdot m_{reta} = - 1 \\ - \sqrt{3} \cdot m_{reta} = - 1 \\ m_{reta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \fbox{m_{reta} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\) Logo, a equação da reta \(t\) é: \(\\ y = \sqrt{3} + mx - m \\ y = \sqrt{3} + \frac{x\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \fbox{y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}\) O eixo horizontal é obtido fazendo \(y = 0\), ou seja, \(y\) é fixo e vale ZERO! Então, resta-nos substituir \(y\) por zero na equação da reta \(t\). Permitirei que termine!! Espero ter ajudado! Att, Daniel F. |
Autor: | rafaelgtmbin [ 09 jul 2013, 02:39 ] |
Título da Pergunta: | Re: Abscissa em ponto de intersecção |
Olá Daniel Puts, valeu muito mesmo por ajudar. Acho meio que muito errado esse tipo de questão ser aplicada em uma prova que o requerido é o nível médio de ensino. Não vi isso na escola pública que estudei, e alguns amigos meus que estudaram em particulares não tiveram também. Então, gostaria que você me esclarecesse essa dúvida, se possível: \(\\ m_{PC} = \frac{0 - \sqrt{3}}{2 - 1} \Rightarrow \fbox{m_{PC} = - \sqrt{3}}\) sei que \(m_{ } = \tan \alpha = \frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}\) gostaria que você me explicasse de onde você pegou esse 2 para o \(x_{b}\), uma vez que é o valor que estamos buscando. continuando a conta, eu achei: \(\frac {x \sqrt{3}}{3}+ \frac {2 \sqrt{3}}{3} = 0\) \(x \sqrt{3}+ 2 \sqrt{3} = 0\) \(\sqrt{3}\left ( x+2 \right ) = 0\) \(x+2 = \frac {0}{\sqrt{3}}\) \(x+2 = 0\) \(x = -2\) Realmente muito obrigado! ![]() |
Autor: | danjr5 [ 09 jul 2013, 03:06 ] |
Título da Pergunta: | Re: Abscissa em ponto de intersecção [resolvida] |
Rafael, é o centro da circunferência \((x - 2)^2 + y^2 = 4\) \((x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 4 \rightarrow \fbox{C = (2, 0)}\) Não há de quê! E, também continue ajudando quando souber. Att, Daniel F. |
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