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| Altura a partir do vertice baseada em volume de um cone https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3079 |
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| Autor: | rafaelgtmbin [ 09 jul 2013, 14:17 ] |
| Título da Pergunta: | Altura a partir do vertice baseada em volume de um cone |
Questão nº2 da prova da EsPCEx de 2012 Citar: Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será? Resposta: \(\frac{\sqrt[3]{7}}{2}h\) Como chegou a esse resultado? |
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| Autor: | rafaelgtmbin [ 09 jul 2013, 14:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Altura a partir do vertice baseada em volume de um cone |
O que pensei inicialmente foi encontrar as alturas através dos volumes, para tal usei \(V_{oleo}=V_{total}-V_{agua}\) Volume total: \(V_{total} = \frac{Ab*h}{3} = \frac {\pi*r^2*h}{3}\) Volume da água: \(V_{agua} = \frac{Ab*h}{3} = \frac {\pi*\left(\frac {r}{2}\right )^2*\left( \frac {h}{2}\right )}{3}\) \(V_{agua} = \frac {\pi * \frac {r^2}{4}* \frac {h}{2}}{3} = \frac {\frac{\pi*r^2*h}{8}}{3}\) \(V_{agua} = \frac{\pi*r^2*h}{8}*\frac {1}{3} = \frac{\pi*r^2*h}{24}\) Volume do oleo: \(V_{oleo}=V_{total}-V_{agua} = \left( \frac {\pi*r^2*h}{3}\right )-\left( \frac{\pi*r^2*h}{24}\right)\) \(V_{oleo}=\frac{8(\pi*r^2*h)-(\pi*r^2*h)}{24}=\frac{7(\pi*r^2*h)}{24}\) Não sei se estou fazendo certo. era esse rumo que eu deveria tomar? Se for, o que devo fazer apartir de agora? |
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| Autor: | Aangel Ggabriel [ 02 set 2013, 00:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Altura a partir do vertice baseada em volume de um cone |
amigo, agora vamos para o resto da contar que você não desenvolveu: temos o volume (7*pi*r²*H/24), e temos a fórmula gera pi*R²*H/3, mas esse raio e essa altura não são as mesmas iniciais (alem do mais essa é a pergunta ¬¬ ), então deves lembrar da rasão r/h = R/H (sendo r = raio inicial, h = altura inicial, R = raio final e H = altura final)... esse simples conhecimento também é adquirido no ensino fundamental... O desenvolvimento final, é só fazer uma "troca" de lugares... veja bem: R/H=r/h então R=H*r/h, substituindo o raio final por H*r/h, fica: pi*R²*H/3 = pi*(H*r/h)²*H/3 = pi*H³*r²/h²*/3... como sabemos que isso é igual ao volume então fica a igualdade: pi*H³*r²/h²*/3 = 7*pi*r²*H/24 então surge o resultado H = h*V³ 7/8 ou H = (h*V³ 7)/2 (Eu quis dizer com V³, a "raiz cubica").... eu vou deixar uma dica aqui... esse tipo de conta deveras responder logo de "cara", pois esse é um dos menores problemas em concursos públicos... acredito que essa duvida deve ter surgido do concurso para Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCx)...... fica a dica.. aprenda tudo certinho, e treine um pouco, que nada é realmente complicado, até o momento em que você olha a resolução e fala: aaaaaaaaaaaataaaaaaaaa kkkk VLEW.... |
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