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| Soma das tangentes de dois arcos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3085 |
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| Autor: | rafaelgtmbin [ 10 jul 2013, 20:20 ] | ||
| Título da Pergunta: | Soma das tangentes de dois arcos | ||
Questão nº 19 da prova da EsPCEx de 2012 Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) é? Resposta: \(2-\sqrt{3}\)
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| Autor: | rafaelgtmbin [ 10 jul 2013, 21:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma das tangentes de dois arcos [resolvida] |
Com base nos valores dados eu consegui a seguinte resolução: Primeiramente achar o valor do valor excedente de 90º dos ângulos de α e β, com base nos senos dos triângulos dados Pra α, temos que achar o cateto oposto primeiro, uso Pitágoras: \(hip^2 = Cad^2+Cop^2\) \(1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2+Cop^2\) \(1 = \frac{2}{4}+Cop^2\) \(Cop^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) \(Cop=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) Então acho o seno: \(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) E o ângulo através do arco seno: \(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 45\) logo, achei 135º para α ----------------------------------------------------------------------- Para β eu já tenho o cateto oposto, então só preciso do seno e do arco seno: \(\sin = \frac{Cop}{hip} = \frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}\) \(\arcsin \frac{1}{2} = 30\) 240º para β (medido pelo sentido positivo: 180º + 60º) ------------------------------------------- Como ambos foram medidos no sentido positivo, bastava somar as tangentes, mas: \(R= \tan 135 + \tan 240\) \(R= (-1) + (\sqrt{3})\) \(R = -1+\sqrt{3}\) Aonde estou errando? ========================================================================================================== editado descobri, o erro era de interpretação a conta pede tg (α + β) e não tg α + tg β logo, teria tg 375 = 0,267949192 = \(2-\sqrt{3}\) é meio pedir demais saber converter esse valor :x |
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