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| Demonstração da fórmula trigonométrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3163 |
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| Autor: | Man Utd [ 21 jul 2013, 00:29 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstração da fórmula trigonométrica [resolvida] |
No meu livro pede-se para provar a fórmula \(cos2\Theta =\frac{A-C}{A1-C1}\),sabendo que \(tg2\Theta =\frac{B}{A-C}\) e também sabendo que: \(\\\\ A1=A*(cos\Theta )^{2}+B.sen\Theta .cos\Theta +C*(sen\Theta )^{2} \\\\ C1=A*(sen\Theta )^{2}-B.sen\Theta .cos\Theta +C*(cos\Theta )^{2}\) não consiguo demonstrar a fórmula,alguém pode me ajudar? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 21 jul 2013, 13:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da fórmula |
Não sei se ajuda, mas lembre-se que \(\cos (2\theta)=\cos^2 \theta-sen^2\theta\) lembre-se que \(sen^2\theta+\cos^2 \theta=1\) e que \(\tan (2\theta)=\frac{sen (2\theta)}{\cos (2\theta)}\) \(A1\) parece ser um caso notável \(A1=(\sqrt{A}\cos\theta + \sqrt{C}sen \theta)^2\) onde \(B=2\sqrt{A}\sqrt{C}\) e \(C1=(\sqrt{A}\cos\theta - \sqrt{C}sen \theta)^2\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 21 jul 2013, 13:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da fórmula |
repare ainda que \(A1-C1=A*(cos\Theta )^{2}+B.sen\Theta .cos\Theta +C*(sen\Theta )^{2}-(A*(sen\Theta )^{2}-B.sen\Theta .cos\Theta +C*(cos\Theta )^{2})=\) \(=A((cos\Theta )^{2}-(sen\Theta )^{2})-C((cos\Theta )^{2}-(sen\Theta )^{2})+2Bsen\Theta .cos\Theta=A cos(2\Theta)-C\cos (2\Theta)+B sen (2\Theta)=(A-C)\cos (2\Theta)+B sen (2\Theta)\) |
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| Autor: | Man Utd [ 21 jul 2013, 15:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da fórmula |
olá. esta última expressão eu já tinha conseguido chegar nela é daí que não consigo prosseguir. \(A1-C1=(A-C)cos2\Theta+Bsen2\Theta\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 21 jul 2013, 22:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da fórmula |
sabendo que \(tg 2\Theta =\frac{sen 2\Theta}{cos 2\Theta}=\frac{B}{A-C}\) então \(A-C=\frac{B}{tg 2\Theta}\) então \(A1-C1=(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta\) ora pede-se para demonstrar que \(\cos 2\Theta=\frac{A-C}{A1-C1}\) substituindo em cima \(A1-C1\) pelo aquilo que já sabemos \(\cos 2\Theta=\frac{A-C}{(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta}\) invertendo dos dois lados \(\frac{1}{\cos 2\Theta}=\frac{(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta}{A-C}\) \(\frac{1}{\cos 2\Theta}=cos 2\Theta+\frac{B sen 2\Theta}{A-C}=cos 2\Theta+\frac{B sen 2\Theta}{\frac{B}{tg 2\Theta}}=cos 2\Theta+tg 2\Theta sen 2\Theta\) de \(\frac{1}{\cos 2\Theta}=cos 2\Theta+tg 2\Theta sen 2\Theta=cos 2\Theta+\frac{sen 2\Theta}{cos 2\Theta} sen 2\Theta\) multiplicamos em ambos os lados por \(\cos 2\Theta\) \(1=cos^2 2\Theta+sen^2 2\Theta\) \(1=1\) c.q.d |
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