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A questão é a seguinte:

Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado medindo 4 cm, e DEGF é um quadrado. Determine a área de DEGF.

Imaginei que deveria calcular as alturas dos triângulos para fazer semelhança de triângulos. Daí cheguei ao seguinte:

Altura do triângulo maior:

\(h = \frac{4 sqrt3}{2}\)

\(h = 2 sqrt3\)

Chamei o lado do quadrado de x

Altura do triângulo menor:

\(h_{1} = 2 sqrt3 -x\)

Fazendo semelhança de triângulos ficou:
\(\frac{4}{x}=\frac{2 sqrt3}{2sqrt3-x}\)

Se o raciocínio estiver correto, eu preciso encontrar o valor de x e elevá-lo ao quadrado para achar a área do quadrado. Só que daí pra frente não consegui fazer. Alguém pode ajudar?

Ola mm_edilson! Eu considerei l o lado quadrado

A mim deu me que \(l^2= (\frac{4sqrt3}{2+sqrt3})^2\)

Confirmei o resultado e batia certo.

Vou escrever uma mensagem com o meu raciocinio.

Até já

Aqui vai o meu raciocionio

O comprimento do segmento BD disse que era igual a \(a\)

Outra coisa todos os ângulos num triangulo equilátero são igual \(\frac{\pi}{3}\)

Pode-se, desde já, escrever duas equações:

\(a*sin(\frac{\pi}{3})= l\)

\(a*cos(\frac{\pi}{3})+\frac{l}{2}=2\)

Pronto ok temos um sistema a duas equações duas incógnitas é só resolver

Facilmente se chega ao resultado acima apresentado.
Espero ter ajudado
Se for preciso alguma explicação mais detalhada não hesistes em perguntar

Cumprimentos,
Eduardo Fernandes