Carla Escreveu:
Qual a área máxima de um triângulo isósceles com 60 cm de perímetro?
Cara Carla, eu não sei resolver, mas tentei. Os amigos com conhecimento certamente ajudarão.
Pensei em usar a Lei dos Cossenos, mas não fui feliz, pois acabei com duas incógnitas e não soube sair delas.
Pensei em usar o Teorema de Heron, mas também confesso que não soube utilizá-lo.
Apelei para Pitágoras na massa bruta. Assim:
Sendo um triângulo isósceles, ele tem dois lados iguais. Chamei esses dois lados iguais de 'a'.
Se o perímetro é de 60 cm, então ele é composto de dois lados iguais (2 x a), mais um lado desconhecido.
Este lado desconhecido é o valor que falta à multiplicação \(2 \times a\) para chegar a 60, de modo que
um lado = a
outro lado igual = a
o outro lado desigual = \(60-2a\)
Como não é um triângulo retângulo, podemos dividi-lo igualmente, de modo a fazer com que cada parte tenha um ângulo reto.
Desenhando o triângulo isósceles com o lado desigual na horizontal e subindo pela sua metade um segmento de reta até o vértice oposto, obtive os dois triângulos retângulos.
Chamei este segmento de reta de 'h'.
Então, 'a' de um dos lados ficou sendo a hipotenusa, e 'h' um dos catetos.
O outro cateto será a metade de 60-2a, ou seja, 30-a.
Por Pitágoras,
\(a^2 = h^2 + (30-a)^2\)
Por produtos notáveis,
\(a^2 = h^2 + 900-60a+a^2\)
que podemos simplificar para
\(0=h^2+900-60a\)
e que
\(60a-900=h^2\)
e finalmente
\(h=\sqrt{60a-900}\)
A área de cada triângulo retângulo que obtive seria dada por
\(S = \frac{h \times a}{2}\)
A área do triângulo isósceles seria então
\(A = 2 \times S\)
ou seja
\(A = 2 \times \frac{\sqrt{60a-900} \times a}{2}\)
Como o 2 do numerador se cancela com o 2 do denominador, a área total do triângulo isósceles dado seria
\(A = \sqrt{60a-900} \times a\)
Cheguei aqui e empaquei, sem sequer ter a certeza de que os conceitos e os cálculos estão corretos.
Abração, espero pelo menos ter dado um caminho inicial (até para mim mesmo),
abração
Mauro
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