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| Optimização - Qual a área máxima de um triângulo isósceles com 60 cm de perímetro? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=3285 |
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| Autor: | Carla [ 09 ago 2013, 08:41 ] |
| Título da Pergunta: | Optimização - Qual a área máxima de um triângulo isósceles com 60 cm de perímetro? |
Qual a área máxima de um triângulo isósceles com 60 cm de perímetro? |
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| Autor: | Mauro [ 09 ago 2013, 13:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Optimização [resolvida] |
Carla Escreveu: Qual a área máxima de um triângulo isósceles com 60 cm de perímetro? Cara Carla, eu não sei resolver, mas tentei. Os amigos com conhecimento certamente ajudarão. Pensei em usar a Lei dos Cossenos, mas não fui feliz, pois acabei com duas incógnitas e não soube sair delas. Pensei em usar o Teorema de Heron, mas também confesso que não soube utilizá-lo. Apelei para Pitágoras na massa bruta. Assim: Sendo um triângulo isósceles, ele tem dois lados iguais. Chamei esses dois lados iguais de 'a'. Se o perímetro é de 60 cm, então ele é composto de dois lados iguais (2 x a), mais um lado desconhecido. Este lado desconhecido é o valor que falta à multiplicação \(2 \times a\) para chegar a 60, de modo que um lado = a outro lado igual = a o outro lado desigual = \(60-2a\) Como não é um triângulo retângulo, podemos dividi-lo igualmente, de modo a fazer com que cada parte tenha um ângulo reto. Desenhando o triângulo isósceles com o lado desigual na horizontal e subindo pela sua metade um segmento de reta até o vértice oposto, obtive os dois triângulos retângulos. Chamei este segmento de reta de 'h'. Então, 'a' de um dos lados ficou sendo a hipotenusa, e 'h' um dos catetos. O outro cateto será a metade de 60-2a, ou seja, 30-a. Por Pitágoras, \(a^2 = h^2 + (30-a)^2\) Por produtos notáveis, \(a^2 = h^2 + 900-60a+a^2\) que podemos simplificar para \(0=h^2+900-60a\) e que \(60a-900=h^2\) e finalmente \(h=\sqrt{60a-900}\) A área de cada triângulo retângulo que obtive seria dada por \(S = \frac{h \times a}{2}\) A área do triângulo isósceles seria então \(A = 2 \times S\) ou seja \(A = 2 \times \frac{\sqrt{60a-900} \times a}{2}\) Como o 2 do numerador se cancela com o 2 do denominador, a área total do triângulo isósceles dado seria \(A = \sqrt{60a-900} \times a\) Cheguei aqui e empaquei, sem sequer ter a certeza de que os conceitos e os cálculos estão corretos. Abração, espero pelo menos ter dado um caminho inicial (até para mim mesmo), abração Mauro |
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