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Calcule o perímetro de um trapézio isósceles cujas bases medem 12cm e 8cm, sabendo que as diagonais são bissetrizes dos ângulos adjacentes à base maior.

R:36

Uma das propriedades notáveis do trapézio isóceles é que os ângulos das bases são iguais.
A questão pede o perímetro, que é a soma de todos os lados do trapézio, no caso. Para descobrirmos essa soma, é necessário sabermos os valores dos lados não adjacentes às bases, ou seja, os valores de AD e de BC. Bom, temos uma facilidade para encontrar esses valores, pois uma das propriedades do trapézio isóceles é que os lados não adjacentes às bases são iguais. Assim, poderemos chamar AD e BC de “h”, pois têm valores idênticos.

Observe que se traçarmos alturas relativas às bases do trapézio da forma como foi feito na imagem anexada, “h” será a hipotenusa de um triângulo retângulo. Mas, não sabemos se DA’ e B’C possuem a mesma medida. Então, podemos pensar da seguinte forma: uma das propriedades do trapézio isóceles é que os ângulos das bases são iguais. Além disso, temos os ângulos retos das alturas que traçamos. Se os dois ângulos de um triângulo são iguais, então o terceiro também o será. Logo, os dois triângulos são congruentes e também são iguais, pois se a hipotenusa deles tem a mesma medida, os outros lados também terão o mesmo tamanho.

Assim,
DA’ = CB’ = a


Mas, sabemos o valor de DC, que é 12, pois a questão forneceu esse dado.
DC = DA’ + A’B’ + B’C
12 = a +8+ a
12-8=2a
4=2a
a = 2


Observe que já descobrimos um valor dos lados do triângulo, ou seja, descobrindo o valor de mais um dos lados, obteremos o valor de “h” e acharemos o perímetro.

Para achar a altura, usar um outro dado da questão: as diagonais são bissetrizes em relação à base maior. Se traçarmos a diagonal DB, formam-se então dois ângulos iguais (em vermelho). Pelo Teorema das Bissetrizes internas, encontramos a seguinte relação:

h/y = a/x
h/y = 2/x
2y = hx

Encontramos uma equação com 3 incógnitas, então vamos ter de procurar pelo menos outra para completá-la.

Observe o triângulo DBB’ e o triângulo DPA’. Eles têm um ângulo em comum (PDA’ é o mesmo ângulo BDB’). Além dele, há o ângulo reto formado pelas alturas que traçamos, então o outro ângulo só pode ser congruente e, assim, são congruentes.

Se os triângulos DBB’ e DPA’ são congruentes, podemos achar uma razão de semelhança entre suas medidas por meio da semelhança de triângulos:

PA’/BB’ = DA’/DB’
x/(x+y) = 2/10
x/(x+y) = 1/5
5x = x + y
4x = y

Relacionando as duas equações:
2y = hx
2(4x)=hx
8 = h


Para o perímetro:
AD + DC + BC + AB =
8 + 12 + 8 + 8 =
36

Olá,

Tentei achar a resposta de uma forma mais simples, mas não consegui.


Espero ter ajudado.

obrigada p/ atenção é minha 1ª mensagem no fórum

Eu que agradeço! (pois revisei alguns assuntos)

Também tenho pouco tempo aqui e as pessoas sempre ajudam!