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A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º e área igual a:

\(3\pi cm^2\)

A área total e o volume deste cone medem?

.:Minha resolução e visão do problema:.

Primeiramente, entendo um cone circular reto como aquele em que o encontro entre o eixo e a base forma um ângulo reto.

Em anexo, desenhei o problema como consegui interpretá-lo.

Para encontrarmos a superfície lateral do cone, basta fazermos uma igualdade de razões(proporção).

A razão entre a área do círculo e o ângulo do círculo(360º) é igual a razão entre a área do setor circular e o ângulo do setor circular(120)º. Também, como o ângulo do setor circular é 3 vezes menor, conclui-se que a área do setor circular é 3 vezes menor que a área do círculo.

Como já temos o valor, é conveniente utilizá-lo a fim de encontrar o raio do círculo(geratriz do cone).

\(A_{L}=\pi rg\)

\(3\pi cm^2=\pi rg\)

\(3cm^2=rg\)

Ainda sabemos que a área do setor circular é igual a área lateral do cone. Podemos usar as relações da superfície circular.

\(\frac{\pi r^2}{360}=\frac{A_{L}}{120}\)

\(A_{L}=\frac{\pi r^2}{3}\)

\(3\pi cm^2=\frac{\pi r^2}{3}\)

\(r^2=9cm^2\)

\(r=3cm\)

Porém

\(3cm^2=rg\)

\(3cm^2=3cm.g\)

\(g=1cm\)

Se o raio do círculo e a geratriz possuem o mesmo valor, como encontrei esses valores? Onde errei? Não consigo desenvolver o exercício.

Grato.

Olá!

Vê a minha resolução, penso que é isto:

\(2\pi \rightarrow 360^o\\ x\rightarrow 120^o\\ x=\frac{2\pi }{3}= \alpha\)

\(A=g^{2}.\alpha \Leftrightarrow g= \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(A= l.g^2 \Leftrightarrow 3\pi=l.\frac{9}{2} \Leftrightarrow l=\frac{6\pi}{9}=\frac{2\pi}{3}\\ l=\frac{2\pi}{3}=2\pi r \Leftrightarrow r=\frac{1}{3}\\ \\ g^2= h^2+r^2\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{79}}{\sqrt{18}}\\\)

Depois é só substituir nas expressões:

\(A_{Tcone}=A_{LateralCone}+A_{BaseCone}= \left ( \pi.r.g \right )+\left ( \pi.r^{2} \right )\\ \\ V_{cone}= \frac{1}{3}\pi r^2.h\\\)

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Nádia Lopes
administrativa do Fórum de Matemática
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