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| Autor: | JessicaAraujo [ 01 Oct 2013, 01:44 ] |
| Título da Pergunta: | Esfera |
Olá, podem me ajudar? Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Determine a razão entre a área da seção e a área do circulo maior da esfera. |
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| Autor: | Mauro [ 01 Oct 2013, 11:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Esfera |
JessicaAraujo Escreveu: Olá, podem me ajudar? Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Determine a razão entre a área da seção e a área do circulo maior da esfera. Cara Jessica Araujo, eu não sei a resposta. Não estou seguro, e, portanto, não dê como correta a minha explicação. Mas vamos pensar juntos. Vamos desenhar uma esfera e, antes de desenhar o plano que a secciona, imaginemos o momento apenas em que a lâmina imaginária toca um ponto qualquer da esfera com a intenção de cortá-la. Este ponto tem a distância ao centro da esfera na mesma medida do raio da esfera, certo? Agora forcemos a lâmina e cortemos a esfera naquele ponto. Será gerado um círculo, que é a borda da calota retirada da esfera. Agora imagine que existe uma altura que vai do centro desse círculo ao ponto de corte, correto? E veja que existe uma linha que liga o raio desse círculo ao centro da esfera. Há um triângulo aí. Esta altura é o raio do círculo e é um dos catetos. Vamos chamá-lo de \(r_c\) Veja também que a distância que vai desse ponto, o raio do círculo, ao centro da esfera é a mesma do plano ao centro da esfera, o tal 'm', certo? É o outro cateto. Veja aí que já temos um triângulo-retângulo formado pela distância do centro da esfera ao ponto de corte e que é a nossa hipotenusa e juntamente os dois catetos. E esta hipotenusa é também o raio da esfera, que chamaremos de \(r_e\). Então, por Pitágoras, \(m^2+(r_c)^2=(r_e)^2\) Isto pode nos dar uma relação na qual podemos explicitar o raio do círculo e, por ele, calcular sua área. \(r_c=\sqrt{(r_e)^2-m^2}\) A área do círculo, então, é \(A_c=\pi (r_c)^2\) \(A_c=\pi(\sqrt{(r_e)^2-m^2})^2\) Cancelando a potência e a raiz entre si, \(A_c=\pi[{(r_e)^2-m^2}]\) A área do círculo máximo da esfera é obtida por \(A_e = \pi (r_e)^2\) Assim, a razão entre a área do círculo máximo e a área do círculo que secciona a esfera é \(\frac{A_e}{A_c}=\frac{ \pi (r_e)^2}{\pi{[(r_e)^2-m^2]}}\) \(\frac{A_e}{A_c}=\frac{ (r_e)^2}{{(r_e)^2-m^2}}\) E isto mostra que o plano não pode ser tangente à esfera, pois \(m\) se igualaria a \(r_e\) e a relação tenderia a infinito, pois não teria sentido não haver corte e haver uma relação entre áreas. E também um círculo obtido por um corte inexistente tem raio zero, o que confirma a impossibilidade. Será que cometi alguma barbaridade? Abração, Mauro |
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