Bigodation Escreveu:
Cada ponto possui somente uma reta tangente ?
Alguem sabe a teoria sobre isso? procurei na internet mas só encontrei demonstrações e nao tinha a resposta de se existe uma e somente uma reta tangente por ponto
Complementando, alguem teria a definição de o porque, da deriva de F(x) ser o coeficiente angular da reta tangente?
Caro Bigodation, você precisaria nos dar mais informações acerca do que está estudando. Sua pergunta chegou genericamente.Sei do que fala, mas fica mais difícil para todos assim.
Mas, sim, de maneira geral, há uma única reta tangente a um ponto de uma curva.
Vamos papear a respeito. Depois, os gabaritados poderão dar uma resposta formal.
Pelo que senti, você precisa, primeiro, pensar no que significa 'tangente'. Tangente é aquilo que toca, encosta.
Uma reta que corta uma curva num determinado ponto não é tangente, pois não apenas toca. Ela corta. Ela faz uma secção, de modo que é uma reta secante.
E há duas palavras que se referem a tangente ligadas ao Cálculo. Uma, é a tangente geométrica, a visualização gráfica do traçado da reta; a outra, é uma relação trigonométrica, o quociente da divisão entre dois valores.
Os dois elementos se entrelaçam.
Dito isto, reta tangente a uma curva num determinado ponto é uma reta que apenas encosta num ponto da curva.
E esta coisa simples deu uma ferramenta muito poderosa para todos.
A ideia e aplicação do conceito vem de Newton e de Leibiniz, ao mesmo tempo.
Imagina o seguinte: um automóvel vai do RJ para SP. Marca-se que ele saiu às 6 horas da manhã e chegou meio-dia em SP.
Sabendo-se que existem 400km entre RJ e SP, qual foi a velocidade desse carro?
Você sabe (e até as placas de trânsito ensinam) que ele foi a 'x'km/h, certo? No caso, 400/6, o que dá, aproximadamente, 66,66...km/h.
Isto é velocidade média.
Mas, você levou em consideração que ele não foi nesta velocidade o tempo todo? Levou em consideração que ele parou para tomar café? Que acelerou a 120km/h numa reta longa e que também ficou preso no trânsito num determinado trecho?
No meio do caminho, em Itatiaia, no quilômetro (sei lá) '347,65' qual a velocidade que o carro ia? Você poderia dizer?
Saber isto é calcular a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade que se refere a apenas um ponto em que você deseja olhar.
O Cálculo - a partir do conceito de tangente à curva no ponto - pode dar exatamente a velocidade do carro onde você escolher olhar, seja a 1cm percorrido ou quilômetros após.
Claro que, com esses dados apresentados como explanação, não dá.
Mas, o Cálculo também não é útil para saber isto, nestas condições, pois precisamos de outra coisa.
Ele somente se aplica se você tiver uma função que represente a variação dos quilômetros percorridos pelo automóvel em relação ao tempo gasto.
Esta função precisa ser definida (ter um valor verdadeiro) para cada centímetro da viagem.
Por esta função deveriam estar previstas a parada para o café, a aceleração, a retenção, tudo isto.
Mas, imaginemos que você tenha tal função. Aí você pega um referencial cartesiano, põe a relação existente entre quilômetros e tempo e vê que a curva sobe e desce em vários pontos, mas que não há buracos na linha traçada. Tudo direitinho, mas é um sobe e desce danado.
Veja que seu gráfico relaciona quilômetros percorridos em função do tempo gasto.
Vamos supor que no eixo das abcissas (eixo dos 'x', eixo da variável independente, no caso o tempo) você marque um ponto qualquer, representante de um determinado tempo decorrido de viagem.
Este ponto vai corresponder a uma quantidade quilômetros percorridos, que é a marcação no eixo das abcissas, o eixo dos 'y'.
Se você comparar com o início da viagem, vai calcular, de novo, a velocidade média, fazendo a diferença dos quilômetros percorridos com o tempo gasto.
Mas, não é isto que queremos. Desejamos calcular a velocidade naquele ponto, a quanto o carro desenvolvia naquele ponto e não em média até então.
Para calcular velocidade você divide a medida da distância percorrida pela do tempo gasto. E é o único jeito de calculá-la.
Aí Newton e Leibiniz tiveram a seguinte ideia: e se, ao invés de comparar o tempo transcorrido por um logo espaço e um tempo grande, porque não calcular a velocidade encurtando muito tempo gasto e o espaço percorrido correspondente?
Quanto mais perto de zero ficar o intervalo de tempo decorrido, e também o espaço percorrido, mais e mais estar-se-ia próximo de achar a velocidade 'com menos' média possível.
Por isto que se chama velocidade instantânea, pois o tempo decorrido tende a zero, junto com os quilômetros percorridos (estes estão em função do tempo).
Agora é que entra a reta tangente.
Sobre a curva, se você marcar um ponto qualquer e deixá-lo fixo e um outro ponto for se aproximando dele, vai ver que os valores correspondentes aos pontos vão tomando valores que os intervalos de quilômetros e tempo vão ficando cada vez menores.
A diferença vai tendendo a zero.
Se você tivesse traçado uma reta secante que unisse os dois pontos sobre a curva veria que, à medida que o ponto móvel se aproxima do fixo a reta vai rodando em torno do ponto fixo até que deixa de ser secante, num diferença muito próxima a zero.
É apenas tangente. Ela toca apenas um ponto da curva. Ou está muitíssimo próxima de tocar apenas um único ponto.
Veja que a reta tangente faz um triângulo, cujo vértice fica no ponto fixo da curva. Um dos catetos é a altura do gráfico muito próximo do ponto fixo e que é diminuto. Veja que o outro cateto é o intervalo de tempo diminuto também. A hipotenusa do triângulo é parte da reta tangente.
Agora o mais importante.
Lembre-se de uma outra tangente. Agora a trigonométrica.
Ela é uma medida.
É a medida de um cateto oposto a um ângulo dividida pela do cateto adjacente ao ângulo. É um número adimensional. Só diz que um cateto é 'k' vezes o outro.
Veja que, se o vértice está no ponto fixo, o cateto oposto são quilômetros percorridos e o cateto adjacente é o tempo gasto.
E veja que a tangente trigonométrica desse diminuto triângulo é exatamente a expressão da velocidade: km/h.
Então, quilômetros 'mínimos' percorridos sobre tempo 'mínimo' percorrido daria uma velocidade, a instantânea, a mais próxima possível da exatidão.
E preste atenção que o tempo tende a zero, mas não chega a lá.
Assim, a derivada é a relação que existe entre os intervalos diminutos da função em relação aos intervalos diminutos da variável independente.
E a tangente trigonométrica, a partir do giro da secante-tangente, dá a inclinação da tangente no ponto, que é calculada como
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
Reconhece a tangente trigonométrica quando o intervalo de tempo é muito próximo de zero? Reconhece o 'x' como tempo decorrido pelo Delta e os quilômetros percorridos nesse intervalo de tempo no lugar do delta na f(x)?
Pois isto é a derivada.
E, geometricamente, a inclinação da reta no ponto é dada pelos valores dos catetos desse diminuto triângulo.
Espero ter ajudado, não ter falado demais e receber perdão dos professores que nos leem,
abração
Mauro
Entrar
Registar
FAQ
Pesquisar
